scusate se apro un'altra discussione sui reticoli, ma quelle già presenti non chiariscono totalmente i miei dubbi e non sapevo come "collegarmici" ad una pre-esistente.
Ho un pò di confusione sui reticoli. Sul libro dice che un reticolo è un insieme parzialmente ordinato dove \( \displaystyle \forall{a},{b} \) appartenenti al reticolo possiamo trovare un elemento minimo ed un elemento massimo.
Dunque possiamo dedurre che esistono reticoli che derivano da insieme parzialmente ordinati e reticoli che derivano da insieme totalmente ordinati? potreste farmi qualche esempio?
Detto questo si parla di maggiornati e minoranti. Da ciò che ho capito se abbiamo un insieme parzialmente ordinato e lo chiamamimo \( \displaystyle {A} \), e ne prendiamo un suo sottoinsieme \( \displaystyle {B} \) possiamo dire, magari guardando un diagramma di Hasse, che il gruppo dei maggioranti di \( \displaystyle {B} \) sono "tutti gli elementi" \( \displaystyle \le \) dell'elemento massimo di \( \displaystyle {B} \).
Da qui però diciamo che, non sempre c'è un elemento massimo di \( \displaystyle {B} \); l'elemento massimo potrebbe anche essere esterno a \( \displaystyle {B} \)? (ad esempio se B non ha un elemento massimo?); e non è detto che esiste un maggiornate di \( \displaystyle {B} \). Ovvero quando si parla di elementi superiori ed inferiori, si parla rispettivamente del minimo dei maggiornati e del massimo dei minoranti, che potrebbero anche essere esterni a \( \displaystyle {B} \), giusto?
Poi tra gli appunti ho la definizione di reticolo ordinato, e riprende dicendo che un insieme ordinato si dice reticolo se \( \displaystyle \forall{a},{b} \) appartenenti all'insieme esiste un elemento inferiore ed un elemento superiore. Ma questa non è "la base" per far si che un gruppo sia un reticolo? Ovvero "che senso ha parlare di reticolo ordinato"? un reticolo non dovrebbe essere sempre e comunque ordinato? (magari non totalmente ma almeno parzialmente?).
Poi parla di reticoli algebrici e di come essi si possono convertire in reticoli ordinati. Però non ho ben capito cosa sono questi reticoli algebrici e che connessione c'è per riuscire a convertirli in reticoli ordinati.
Scusate per la lunga serie di domande e supposizioni probabilmente errate, ma sono un pò confuso. Ringrazio anticipatamente per la pazienza chiunque abbia voglia di rispondermi
