retta ortgonale passante per un punto ed incidente

[glorietta]

Nello spazio euclideo tridimensionale riferito a coordinate cartesiane ortogonali si considerino le rette:

r: \( \displaystyle {\left\lbrace\matrix{{x}+{y}+{z}+{4}={0}\\{2}{x}+{y}+{3}{z}+{6}={0}}\right.} \) s: \( \displaystyle {\left\lbrace\matrix{{y}-{z}-{2}={0}\\{x}+{2}{z}+{6}={0}}\right.} \)

e il punto P=(-3 ; 0; -1)

1. Dopo aver verificato che le due rette sono tra loro parallele determinare un'equazione cartesiana del piano pi grego che le contiene e della retta a passante per P ortogonale ed incidente ad entrambe.

Allora ho scritto r ed s in forma parametrica ed ho ricavato che i parametri direttori risultano:

pdr=[(-2;1;1)] ; pds=[(-2;1;1)]

Quindi essende i parametri direttori perfettamente identici le rette sono parallele.


Per determinare l'equazione del piano che contiene le due rette ho scritto il fascio passante per r che risulta:

x + y + z + 4 +k(2x + y + 3z + 6)=0

Impongo che questo fascio passo per un qualsiasi punto di s come S=(-6;2;0) e trovo che il k=0 di modo tale da ricavare il piano pi greco.

Adesso come faccio a calcolare quella retta ortogonale che assomiglia molto alla retta di minima distanza???

2. Determinare una rappresentazione cartesiana della circonferenza pi greco con centro sulla retta a e tangente ad r ed s.

Su questo punto invece non ci sono proprio.

Grazie mille.

[f4st]

Ciao visto che anche io sono piuì o meno al tuo livello.. nn posso garantire che sia giusta

allora per la prima domanda per trovare la retta ortogonale ho fatto cosi (spero qualcuno ci corregga se sbagliamo!! )

-ti scrivi la retta parallela a \( \displaystyle {r} \) che passa per il punto \( \displaystyle {P} \) \( \displaystyle {d}:{\left(-{3},{0},-{1}\right)}+\lt{\left(-{2},{1},{1}\right)}\gt \)

-scrivi due generici punti delle rette r e d \( \displaystyle {P}_{{r}}={\left(-{2}{t}-{2},{t}-{2},{t}+{1}\right)} \) e \( \displaystyle {P}_{{d}}={\left(-{2}\lambda-{3},\lambda,\lambda-{1}\right)}\lt{b}\frac{{r}}{\gt}\lt{b}\frac{{r}}{\succ}{\quad\text{or}\quad}{a}{s}{c}{r}{i}{v}{i}{u}{n}\ge\ne{r}{i}{c}{o}{v}{e}{\mathtt{{\quad\text{or}\quad}}}{e}{d}{a}{u}{n}\ge\ne{r}{i}{c}{o}{p}{u}{n}\to{d}{i} \)r\( \displaystyle {e}{u}{n}\ge\ne{r}{i}{c}{o}{p}{u}{n}\to{d}{i} \)d\( \displaystyle \lt{b}\frac{{r}}{\gt}{c}{i}{o}è{f{{a}}}{i}{i}{l}{v}{e}{\mathtt{{\quad\text{or}\quad}}}{e} \)\bar{P_r P_d}\( \displaystyle {c}{h}{e}{r}{i}{s}{\underline{{t}}}{a} \)(-2\lambda-2t-1,\lambda-t+2,\lambda-t-2)\( \displaystyle \lt{b}\frac{{r}}{\gt}\lt{b}\frac{{r}}{\succ}{l}{o}{i}{m}{p}{o}{n}{i}{\quad\text{or}\quad}\to{g{{o}}}{n}{a}\le{a}{l}{l}{a}{d}{i}{r}{e}{z}{i}{o}\ne{d}{i} \)r\( \displaystyle {c}{i}{o}è \)(-2\lambda-2t-1,\lambda-t+2,\lambda-t-2)*(-2,1,1)=0\( \displaystyle \lt{b}\frac{{r}}{\gt}{r}{i}{s}{\underline{{t}}}{a} \)t=-1-3\lambda"
poni per esempio \( \displaystyle \lambda={1} \) quindi \( \displaystyle {t}=-{4} \)

-sostituendo in \( \displaystyle {\overline{{{P}_{{r}}{P}_{{d}}}}} \) risulta \( \displaystyle {\left({5},{7},{3}\right)} \) ke se controlli è ortogonale alla direzione della retta r
-ora che hai la direzione ortogonale e il punto \( \displaystyle {P} \)..
la retta cercata è \( \displaystyle {a}:{\left(-{3},{0},-{1}\right)}+\lt{\left({5},{7},{3}\right)}\gt \)
ma az ci ho messo piu' tempo a trascriverla che farla -.-
per la seconda domanda ora nn ho tempo per pensarci

[f4st]

no.. ero curioso quindi ho cercato di pensare ad una soluzione per la 2° domanda. Sicuramente ci sarà un altro modo più intelligente per risolverlo.. ma mi viene in mente solo cosi

-trovi l'intersezione della retta \( \displaystyle {r} \) e \( \displaystyle {a} \) cioè porti in forma cartesiana la \( \displaystyle {a} \) e metti in sistema con r ti trovi punto di intersezione \( \displaystyle {P}_{{{r}{a}}} \) (4 eq. in 3 indeterminate) fai anche \( \displaystyle {a}\cap{s} \) trovi il punto \( \displaystyle {P}_{{{s}{a}}} \)

-calcoli il punto medio tra i due punti appena trovati che sara' il centro \( \displaystyle {C}={\left({x}_{{0}},{y}_{{0}}\right)}\lt{b}\frac{{r}}{\gt}{s}{a}{i}{a}{n}{c}{h}{e}{i}{l}{r}{a}{g{{g{{i}}}}}{o}{\quad\text{or}\quad}{m}{a}{i} \)raggio=D(P_(ra),C)

-sai che la circonferenza ha l'equazione \( \displaystyle {{x}}^{{2}}+{{y}}^{{2}}+{a}{x}+{b}{y}+{c}={0} \) dove ti riccordo che
\( \displaystyle {a}=-{2}{x}_{{0}}, \)
\( \displaystyle {b}=-{2}{y}_{{0}} \)
\( \displaystyle {c}={{x}_{{0}}^{{2}}}+{{y}_{{0}}^{{2}}}-{r}{a}{g{{g{{i}}}}}{o} \)

sostituisci i valori nell'eq. e ottieni la circonferenza cercata..

detto questo mi rendo conto che ci sia da fare una marea di conti.. quindi questa soluzione dovrebbe essere la piu "disperata" magari aspetta di vedere le risposte degli altri prima di soffrire inutilmente (sempre ammesso poi che io nn sbagli)
ciaoo

[glorietta]

Grazie mille...ora sono riuscita a risolvere tutto per fortuna...Ero disperata perchè ho un esame domani e sono riuscita a risolvere 6 temi d'esame e passa da sola quindi spero di passarlo!!!!

[f4st]

buona fortuna allora!
io ho l'esame il 15 sono preoccupato che io