Rette e piani

[loweherz]

determinare la retta s passante per P=(5,1,4) e incidente alle rette

r1: { x + y + z + 2 = 0
{ 3x + 4y + 3z + 8 = 0

r2: { x + 5y - z = 0
{ x - y - 2z + 3 = 0

determinare anche i punti d'incidenza.

Come faccio a risolvere l'esercizio??

[mistake89]

Due idee veloci per risolvere l'esercizio, a te verificare che non siano stupidaggini.
La prima geometria: prendi il fascio di piani di asse \( \displaystyle {r}_{{1}} \) ed imponi il passaggio per \( \displaystyle {P} \) otterrai un piano \( \displaystyle \pi \). Intersecalo con \( \displaystyle {r}_{{2}} \) otterrai un punto \( \displaystyle {Q} \) la retta cercata è \( \displaystyle {\left[{P}{Q}\right]} \)

La seconda analitica: prendi un generico punto su \( \displaystyle {r}_{{1}} \) e scrivi la retta \( \displaystyle {\left[{P}{Q}_{{1}}\right]} \), prendi un punto di \( \displaystyle {r}_{{2}} \) e scrivi la retta \( \displaystyle {\left[{P}{Q}_{{2}}\right]} \) ed imponi successivamente che le rette siano uguali, dovresti poter ricevare i parametri e determinare retta e punti di incidenza.

Ripeto sono solo idee che mi son fatto leggendo immediatamente la traccia e come tali potrebbero essere sbagliate.
Ciao e facci sapere come è andata...

[loweherz]

la seconda non ho capito..mi prendo un punto di r1 (esempio (0,-2,0) )..e la retta PQ1 mi diventa (5,1,4)+t(5,3,4)..poi prendo un punto di r2 (esempio (3,0,3) ) e la retta PQ2 mi diventa (5,1,4) + t(2,1,1)..come faccio a farle diventare uguali?!?!?!?!?

[mistake89]

No, generico punto di \( \displaystyle {r}_{{1}} \) è \( \displaystyle {\left({k},-{2},-{k}\right)} \). Basta semplificare qui e là ed ottieni l'equazione della retta \( \displaystyle {r}_{{1}}:{\left\lbrace\matrix{{x}=-{z}\\{y}=-{2}}\right.} \) ed assegnando a \( \displaystyle {x} \) il valore \( \displaystyle {k} \) ottieni il punto desiderato.
In realtà ho riletto e credo di essermi espresso male, non volevo dire che i segmenti devono essere uguali, ma che devono essere allineati i punti, infatti per \( \displaystyle {3} \) punti allineati passa una sola retta, e tre punti allineati equivale a cercare tre punti affinemente dipendenti, ovvero 2 vettori linearmente dipendenti...
Ma non so se sia la via più proficua. Prova a vedere un po', le mie son solo degli spunti...

[loweherz]

no non riesco a risolverlo..ho provato in tutti i modi ma non capisco i passaggi che devo fare..sul libro suggerisce di trovare il piano passante per P e contenente la retta r1..poi trovare quello contenente r2 e poi fare l'intersezione...ma come faccio a trovare quei due piani?

[mistake89]

Anche quella è un'idea, credo più corretta della mia... sai costruire un fascio di piani a partire da una retta? Se sì, basta imporre il passaggio per il punto \( \displaystyle {P} \) per ricavare il parametro e determinare il piano. Se no, ti consiglio di leggere un pò meglio la teoria!