Rette parallele e punti equidistanti - SNS 1968

[elios]

"In un piano sono date tre rette parallele \( \displaystyle {r} \), \( \displaystyle {s} \) e \( \displaystyle {t} \): la retta \( \displaystyle {s} \) è tra le altre due e contiene un punto assegnato \( \displaystyle {A} \). Determinare le parti della retta \( \displaystyle {r} \) costituite dai punti \( \displaystyle {X} \) per i quali passa almeno una retta che incontra le rette \( \displaystyle {s} \), \( \displaystyle {t} \) in punti equidistanti da \( \displaystyle {A} \)."

Chiamo \( \displaystyle \alpha \) l'inclinazione della retta passante per \( \displaystyle {X} \), che determina i punti \( \displaystyle {S} \) e \( \displaystyle {T} \) sulle rette \( \displaystyle {s} \) e \( \displaystyle {t} \). Ne consegue che il triangolo isoscele \( \displaystyle {A}{S}{T} \) ha gli angoli alla base pari a \( \displaystyle \alpha \). Poiché \( \displaystyle {S}{T}{t} \) (cioè l'angolo di vertice \( \displaystyle {T} \) delimitato dalla semiretta \( \displaystyle {t} \) e da \( \displaystyle {T}{S} \)) è pari ad \( \displaystyle \alpha \), allora \( \displaystyle {T}{X} \) è la bisettrice dell'angolo \( \displaystyle {A}{T}{t} \).
A partire da A, che è dato, si possono ricostruire le regioni di spazio su cui trovare \( \displaystyle {X} \), mandando fasci di rette verso \( \displaystyle {t} \) e costruendo da \( \displaystyle {T} \) la bisettrice dell'angolo ottenuto.

Il problema è capire poi che regioni per \( \displaystyle {X} \) ottengo.
Un'ipotesi che mi era venuta in mente è che tali regioni dipendano dalla distanza orizzontale di \( \displaystyle {X} \) da \( \displaystyle {A} \). Ad esempio se una retta esce da \( \displaystyle {A} \) con inclinazione \( \displaystyle {x} \) rispetto alla verticale, poi (costruendo la bisettrice dell'angolo che si forma, che è pari a \( \displaystyle {90}+{x} \)) risale con inclinazione \( \displaystyle \frac{{{90}+{x}}}{{2}} \) rispetto all'orizzontale. Chiamando \( \displaystyle {d}_{{1}} \) e \( \displaystyle {d}_{{2}} \) le distanze fra le rette \( \displaystyle {r} \) e \( \displaystyle {s} \), e fra \( \displaystyle {s} \) e \( \displaystyle {t} \), ottengo che la distanza orizzontale di \( \displaystyle {X} \) da \( \displaystyle {A} \) è \( \displaystyle {d}_{{2}}\cdot{t}{g{{x}}}+{\left({d}_{{1}}+{d}_{{2}}\right)}\cdot{t}{g{{\left(\frac{{{90}-{x}}}{{2}}\right)}}} \), che però è un'espressione bella complicata..
Come trovo le regioni di \( \displaystyle {X} \)?

[adaBTTLS]

traccia la circonferenza con centro in \( \displaystyle {A} \) e tangente a \( \displaystyle {t} \). chiama \( \displaystyle {T} \) il punto di tangenza e chiama \( \displaystyle {S}_{{1}} \) ed \( \displaystyle {S}_{{2}} \) i punti di intersezione con la retta \( \displaystyle {s} \). traccia le rette \( \displaystyle {T}{S}_{{1}} \) e \( \displaystyle {T}{S}_{{2}} \), e chiama \( \displaystyle {R}_{{1}} \) ed \( \displaystyle {R}_{{2}} \) i punti d'intersezione con la retta \( \displaystyle {r} \). il segmento \( \displaystyle {R}_{{1}}{R}_{{2}} \) dovrebbe essere \( \displaystyle {X} \). per convincertene, prova a tracciare altre circonferenze con centro in \( \displaystyle {A} \) ...

spero di aver capito il problema, di non aver preso abbagli e di essere stata chiara. ciao.

[WiZaRd]

Credo che il luogo \( \displaystyle {X} \) sia la retta \( \displaystyle {r} \) meno il segmento \( \displaystyle {R}_{{{1}}}{R}_{{{2}}} \).

[adaBTTLS]

Credo che il luogo \( \displaystyle {X} \) sia la retta \( \displaystyle {r} \) meno il segmento \( \displaystyle {R}_{{{1}}}{R}_{{{2}}} \).

questa è la cosa che inizialmente mi era venuta in mente, smentita dal disegno fatto a mano.
poiché sei un mago dei disegni geometrici, perché non ne posti uno (con la circonferenza tangente ed una con un raggio maggiore) e ne parliamo con una buona "visualità"?

EDIT: forse va eliminato dal segmento \( \displaystyle {R}_{{1}}{R}_{{2}} \) il punto appartenente alla retta \( \displaystyle {A}{T} \).

[WiZaRd]

Ho rivalutato la mia risposta: credo che il luogo sia \( \displaystyle {r}\backslash{S}'_{{{1}}}{S}'_{{{2}}} \) ove \( \displaystyle {S}'_{{{1}}} \) e \( \displaystyle {S}'_{{{2}}} \) sono le proiezioni su \( \displaystyle {r} \) di \( \displaystyle {S}_{{{1}}} \) e \( \displaystyle {S}_{{{2}}} \) rispettivamente.

[adaBTTLS]

grazie, WiZaRd.
vedendo il disegno, mi sono convinta che le nostre soluzioni iniziali non erano corrette.
non sono ancora convinta che la soluzione sia esattamente la tua ultima versione: perché tutti e soli quei punti?
sarebbe opportuno vedere quali rette vanno a finire "vicino" ai punti \( \displaystyle {S}'_{{1}},{S}'_{{2}} \).

[WiZaRd]

Sia \( \displaystyle {a} \) una retta condotta per un punto di \( \displaystyle {S}'_{{{1}}}{S}'_{{{2}}} \): questa retta incontra la retta cui appartiene \( \displaystyle {A} \) in un punto \( \displaystyle {S}_{{{3}}} \) e la retta cui appartiene \( \displaystyle {T} \) in un punto \( \displaystyle {T}_{{{1}}} \) di modo che \( \displaystyle {T}_{{{1}}} \) si trovi nel semipiano che contiene \( \displaystyle {A} \) rispetto alla parallela alla retta \( \displaystyle {A}{T} \) condotta per \( \displaystyle {S}_{{{3}}} \) (questo perché \( \displaystyle {S}_{{{3}}} \) e \( \displaystyle {T}_{{{1}}} \) sono conciclici di centro \( \displaystyle {A} \)).
Se \( \displaystyle {T}\equiv{T}_{{{1}}} \) allora \( \displaystyle {A}{S}_{{{3}}}\lt{A}{T}={A}{T}_{{{1}}} \): assurdo, dovendo essere conciclici di centro \( \displaystyle {A} \) i punti \( \displaystyle {S}_{{{3}}} \) e \( \displaystyle {T}_{{{1}}} \).
Se \( \displaystyle {T}\ne{T}_{{{1}}} \), allora \( \displaystyle {A}{S}_{{{3}}}\lt{A}{S}_{{{1}}}={A}{S}_{{{2}}}={A}{T}\lt{A}{T}_{{{1}}} \): ancora assurdo.

Questo prova (almeno credo) il "soli".
Adesso sono alla ricerca della prova del "tutti".

Che ne dici?

[adaBTTLS]

nel frattempo, non convinta, ho affrontato il problema con la geometria analitica, ed ho ottenuto il minimo valore dell'ascissa di \( \displaystyle {R}\in{r} \)...
se chiamo \( \displaystyle {A}' \) la proiezione di \( \displaystyle {A} \) su \( \displaystyle {r} \), risulta \( \displaystyle {A}{R}=\sqrt{{{h}{\left({h}+{2}{k}\right)}}} \), dove \( \displaystyle {h}=\text{dist}{\left\lbrace{s},{t}\right\rbrace},{k}=\text{dist}{\left\lbrace{r},{s}\right\rbrace} \).
prova a verificare. ciao.

[elios]

Scusatemi, mi sono sfuggiti un po' di passaggi..

traccia la circonferenza con centro in \( \displaystyle {A} \) e tangente a \( \displaystyle {t} \). chiama \( \displaystyle {T} \) il punto di tangenza e chiama \( \displaystyle {S}_{{1}} \) ed \( \displaystyle {S}_{{2}} \) i punti di intersezione con la retta \( \displaystyle {s} \). traccia le rette \( \displaystyle {T}{S}_{{1}} \) e \( \displaystyle {T}{S}_{{2}} \), e chiama \( \displaystyle {R}_{{1}} \) ed \( \displaystyle {R}_{{2}} \) i punti d'intersezione con la retta \( \displaystyle {r} \). il segmento \( \displaystyle {R}_{{1}}{R}_{{2}} \) dovrebbe essere \( \displaystyle {X} \). per convincertene, prova a tracciare altre circonferenze con centro in \( \displaystyle {A} \) ...

Vuol dire che il punto d'intersezione fra la retta che passa per \( \displaystyle {X} \) e la retta \( \displaystyle {t} \) deve essere sempre il punto \( \displaystyle {T} \) come da te definito?

[adaBTTLS]

no.
sul disegno di WiZaRd, la costruzione è data dalla circonferenza verde e dalle due rette, tra loro perpendicolari, che formano angoli di 45° con r,s,t. le circonferenze con raggio maggiore sono naturalmente quelle in rosso, e le rette tracciate in corrispondenza di tali circonferenze non passano per T.
la soluzione che hai citato non è corretta. vedi i post successivi.