Rettificabilità di una curva

[Uomosenzasonno]

Salve a tutti, è un po' che nn scrivo sul forum... in effetti tra pochi giorni ho l'orale dell'esame quindi mi sono concentrato nello studio!

Volevo chiedervi se sapreste dirmi come si risolve il seguente esercizio (sbagliato da me all'esame):

Stabilire la rettificabilità in \( \displaystyle {\left[{0},{1}\right]} \) della curva di supporto \( \displaystyle \gamma \) e parametrizzazione:

\( \displaystyle {\left\lbrace\matrix{{x}{\left({t}\right)}={2}{t}\\{y}{\left({t}\right)}={t}{\sin{{\left(\frac{{{2}\pi}}{{t}}\right)}}}}\right.} \)

Allora io ho pensato di procedere in diversi modi:

1) Calcolare la lunghezza della curva in \( \displaystyle {\left[{0},{1}\right]} \). Infatti se la lunghezza è un numero finito allora posso concludere che la curva è rettificabile.
2)Vedere se la curva è di classe \( \displaystyle {{C}}^{{1}}{\left[{0},{1}\right]} \), e quì ho qualche difficoltà nel calcolo del limite (in teoria la funzione non dovrebbe essere continua in 0)

Percui la curva mi verrebbe non rettificabile, essendo non C1 in 0...

[Uomosenzasonno]

up

[gugo82]

La curva è il grafico di \(f(x)=\frac{1}{2}\ x\sin \left( \frac{4\pi}{x}\right)\).
Quindi la curva è rettificabile se e solo se \(f(x)\) è a variazione limitata.
Perciò cercherei di stabilire se questa funzione è a variazione limitata o no, per rispondere sulla rettificabilità.

[Uomosenzasonno]

Ciao grazie della risposta.

Ho trovato un esercizio simile. In pratica era una strada che stavo seguendo, ma poi mi sono concentrato su altro e purtroppo ho abbandonato la via corretta.

In pratica la funzione non è \( \displaystyle {{C}}^{{1}} \) in 0. Questo significa che per dimostrare che è rettificabile, mi conviene vedere che \( \displaystyle \int_{{\gamma}}{d}{s}\lt+\infty \)

Calcolando il modulo del versore tangente, vedo che la funzione integranda è continua in \( \displaystyle \]{0},{1}\] \) e limitata per \( \displaystyle {t}\to{{0}}^{+} \), quindi l'integrale converge...

Peccato, un sacco di punti persi all'esame!!! Speriamo la clemenza della corte all'orale!

[Uomosenzasonno]

Ho ancora qualche dubbio su questo esercizio. In pratica mi viene che la lunghezza della curva in \( \displaystyle {\left[{0},{1}\right]} \) è:

\( \displaystyle {\int_{{0}}^{{1}}}{\left(\sqrt{{{4}+{{\sin}}^{{2}}{\left({2}\frac{\pi}{{t}}\right)}+\frac{{{4}{\pi}^{{2}}}}{{{t}}^{{2}}}{{\cos}}^{{2}}{\left({2}\frac{\pi}{{t}}\right)}-\frac{{{4}\pi}}{{t}}\cdot{\sin{{\left({2}\frac{\pi}{{t}}\right)}}}{\cos{{\left({2}\frac{\pi}{{t}}\right)}}}}}\right)}{\left.{d}{t}\right.} \)

Ecco, come vaffio a vedere se l'integrale converge? (

riguardo alla variazione limitata, se nn ricordo male vuol dire che deve essere continua in un intorno \( \displaystyle {\left[{t}_{{0}}-{h},{t}_{{0}}+{h}\right]} \), ma io gia' so che non è continua in 0, dovrei riuscire a capire però se è limitata per \( \displaystyle {{0}}^{+} \)

boh nn so come risolverlo, chiedo il vostro aiuto!