Ricerca di radici multiple: modifiche al metodo di Newton

[canemacchina]

Salve a tutti.

Facendo qualche esercizio per l'università, mi viene chiesto di confrontare i due metodi di newton modificati per la ricerca di radici multiple, ovvero il metodo di accelerazione di Aitken (per i casi di radici di molteplicità non nota) e il metodo di newton modificato per radici di molteplicità nota.

Mi viene chiesto di provare i due algoritmi con varie funzioni, tra cui c'è la funzione \( \displaystyle {{\left({x}-{1}\right)}}^{{10}} \).
Giustamente mi aspetto che il metodo di newton per radici di molteplicità nota converga sempre in 1 passo (come infatti fa) indipendentemente dalla tolleranza scelta, dato che questo è costruito partendo proprio da funzioni di questo tipo.
Quello che non mi è tornato è che per questo tipo di funzioni anche il metodo di accelerazione di Aitken sembra costante!
Per la precisione, entrambi i metodi avrebbero la convergenza dopo 1 solo passo (indipendentemente dall'accuratezza scelta) se nel criterio d'arresto potessi usare la radice invece che una sua approssimazione.

Se invece uno una sua approssimazione (cioè l'ultimo valore calcolato) allora il metodo per radici di molteplicità nota impiega 1 passo o 2 passi (in modo ciclico, a seconda del punto di innesco scelto), mentre Aitken impiega, in modo ciclico, 2,4,8 passi, in base al punto iniziale scelto (ed entrambi indipendentemente dall'accuratezza scelta).

Qualcuno sa spiegarmi perché? Grazie.