Risoluzione di un esercizio tosto sulle applicazioni lineare

[gtsolid]

ciao a tutti.
l'esercizio è questo

http://img820.imageshack.us/img820/9559/immagine1t.jpg

il punto a) è a posto l'ho fatto

partiamo dal punto b) dunque.
ho considerato un generico vettore \( \displaystyle {v}={\left({x},{y},{z}\right)} \) e ne ho fatto il prodotto vettoriale con un vettore \( \displaystyle {\left({0},{0},{3}\right)} \), ottenendo \( \displaystyle {\left({3}{y},-{3}{x},{0}\right)} \) a cui sono andato a sottrarre due volte il vettore \( \displaystyle {v} \).
al che mi è venuto \( \displaystyle {f{{\left({x},{y},{z}\right)}}}={\left({3}{y}-{2}{x},-{3}{x}-{2}{y},-{2}{z}\right)} \)
Da qui dovrei trovare la matrice associata che a me viene \( \displaystyle {\left(\matrix{-{2}&-{3}&{0}\\{3}&-{2}&{0}\\{0}&{0}&-{2}}\right)} \)
è giusto?

[cirasa]

Quasi tutto.
Ci sono due errori di segno nella matrice.

[gtsolid]

Quasi tutto.
Ci sono due errori di segno nella matrice.

dove?
ordinando e sostituendo 1 e 0 a me viene la mia matrice...
o forse dovevo mettere i vettori per colonne?
io li ho inseriti per righe

[cirasa]

o forse dovevo mettere i vettori per colonne?
io li ho inseriti per righe

Ah, ecco.
Vai a dare un'occhiata alla tua definizione di matrice associata.
Quasi tutti sistemano la \( \displaystyle {n} \)-upla delle componenti per colonne...

[gtsolid]

o forse dovevo mettere i vettori per colonne?
io li ho inseriti per righe

Ah, ecco.
Vai a dare un'occhiata alla tua definizione di matrice associata.
Quasi tutti sistemano la \( \displaystyle {n} \)-upla delle componenti per colonne...

va bene.. per quel che riguarda il punto c)
ho trovato che \( \displaystyle {k}{e}{r}={\left({0},{0},{0}\right)} \) (funzione iniettiva) e che quindi \( \displaystyle {D}{i}{m}{I}{m}={3} \) e una base dell'immagine è \( \displaystyle {\left(-{2},-{3},{0}\right)},{\left({3},-{2},{0}\right)},{\left({0},{0},-{2}\right)} \)
ok?

[cirasa]

Ok.

[gtsolid]

Ok.

ok. per quel che riguarda il punto d)
ho trovato 3 autovalori \( \displaystyle {\left(-{2},-{2}-{3}{i},-{2}+{3}{i}\right)} \)
sono giusti?
posso trovare degli autovettori a partire da autovalori complessi?

[cirasa]

Dipende dal campo su cui vuoi diagonalizzare.
Se vuoi diagonalizzare su \( \displaystyle \mathbb{R} \), allora l'unico autovalore è \( \displaystyle -{2} \).
Se vuoi diagonalizzare su \( \displaystyle \mathbb{C} \), allora ci sono tre autovalori, quelli che hai trovato tu.

Secondo me, visto che si tratta dello spazio ordinario, si sta considerando il campo \( \displaystyle \mathbb{R} \).

[gtsolid]

Dipende dal campo su cui vuoi diagonalizzare.
Se vuoi diagonalizzare su \( \displaystyle \mathbb{R} \), allora l'unico autovalore è \( \displaystyle -{2} \).
Se vuoi diagonalizzare su \( \displaystyle \mathbb{C} \), allora ci sono tre autovalori, quelli che hai trovato tu.

Secondo me, visto che si tratta dello spazio ordinario, si sta considerando il campo \( \displaystyle \mathbb{R} \).

grazie. era in \( \displaystyle {R} \)

[gtsolid]

Dipende dal campo su cui vuoi diagonalizzare.
Se vuoi diagonalizzare su \( \displaystyle \mathbb{R} \), allora l'unico autovalore è \( \displaystyle -{2} \).
Se vuoi diagonalizzare su \( \displaystyle \mathbb{C} \), allora ci sono tre autovalori, quelli che hai trovato tu.

Secondo me, visto che si tratta dello spazio ordinario, si sta considerando il campo \( \displaystyle \mathbb{R} \).

dato che hanno molteplicità = \( \displaystyle {1} \) è giusto dire che l'endomorfismo è semplice?