Risolvere usando la geometria elementare

[prime_number]

Trovare \( \displaystyle {x} \) utilizzando solo teoremi di geometria piana elementari (no trigonometria)

\( \displaystyle {C}{A}{D}={10}° \) (preciso perché si legge male dal disegno)

Preciso che il problema mi è stato proposto qualche giorno fa e ancora non l'ho risolto...
In ogni caso, essendo un problema che necessita di dimostrazione, dubito che qualcuno sarà dubbioso sulla propria soluzione .

Paola

edit: ho editato, non avevo notato l'errore

[gio73]

Se non ce l'hai ancora fatta tu... mi pare parecchio complicato! Non si riconoscono triangoli isosceli a parte quello grande, nè trapezi, parallelogrammi (niente rette parallele)... Solo angoli opposti al vertice e triangoli (somma degli angoli interni=180°)... un'osservazione: l'angolo da 10° è CAD non CAB o sbaglio?
Ci riproverò nelle vacanze, buona serata a tutti!

[retrocomputer]

Forse l'angolo \( \displaystyle {B}{\hat{{E}}}{D} \) è rettangolo?

[prime_number]

Forse l'angolo \( \displaystyle {B}{\hat{{E}}}{D} \) è rettangolo?

Non saprei, puoi dimostrarlo?

Comunque sicuramente c'è da costruire qualcosa in più, non si può usare solo la figura così "nuda".


Paola

[retrocomputer]

Non saprei, puoi dimostrarlo?

Non esattamente
Diciamo che l'ho supposto e ho visto che in questo modo tutti gli angoli interni dei vari triangoli hanno la giusta somma di 180 gradi e che vengono rispettate tutte le altre proprietà degli angoli presenti.
Forse non è tanto difficile ottenere un assurdo se si pone l'angolo non retto... Però ho provato solo ponendolo per esempio uguale a 80 gradi...

[milizia96]

Non si riconoscono triangoli isosceli a parte quello grande,

Veramente anche il triangolo CEB è isoscele.

[gio73]

Non si riconoscono triangoli isosceli a parte quello grande,

Veramente anche il triangolo CEB è isoscele.

Giusto! Ci sono i due angoli da 20°!

[@melia]

Ho trovato quanto vale x, ma ho barato perché ho usato la trigonometria. Metto in spoiler la mia soluzione, magari qualcuno riesce a trarre qualche spunto per la soluzione geometrica.

Testo nascosto, fai click qui per vederlo

\( \displaystyle {x}={40} \), quindi \( \displaystyle {E}{D} \) è l'altezza del triangolo isoscele ECB
Ho applicato il teorema dei seni ai triangoli EBD e ECD,
dal primo triangolo ho ottenuto \( \displaystyle \frac{{{\overline{{{E}{D}}}}}}{{\sin{{20}}}}=\frac{{{\overline{{{E}{B}}}}}}{{\sin{{\left({50}+{x}\right)}}}} \)
dal secondo triangolo \( \displaystyle \frac{{{\overline{{{E}{D}}}}}}{{\sin{{20}}}}=\frac{{{\overline{{{E}{C}}}}}}{{\sin{{\left({130}-{x}\right)}}}} \), ma \( \displaystyle {\overline{{{E}{B}}}}={\overline{{{E}{C}}}} \), da cui \( \displaystyle {\sin{{\left({50}+{x}\right)}}}={\sin{{\left({130}-{x}\right)}}} \) che ammette come soluzioni \( \displaystyle {x}={40} \) e la soluzione non accettabile \( \displaystyle {x}={0} \)

[retrocomputer]

Ho trovato quanto vale x, ma ho barato perché ho usato la trigonometria.

Anche io ho barato quando ho detto che l'angolo DEB è rettangolo. Se lo supponi rettangolo, allora tutte le somme di angoli interni dei triangoli corrispondono e in particolare, chiamando H il punto di intersezione tra i segmenti BE e AD, l'angolo AHB è di 50 gradi, quindi lo è anche EHD, quindi EDH=180-DEB-EHD=40.

[albertobosia]

scusate, penso abbiate fatto un errore.



\(F\) è il punto medio di \(AB\), \(r_1\) è l'asse di \(AB\)
\(r_2\) è la parallela a \(AD\) passante per il punto \(H\)
\(r_3\) e \(r_4\) sono le parallele a \(AB\) passanti rispettivamente per i punti \(D\) e \(H\)

\(D\hat HC=H\hat DG+H\hat GD\) (angolo esterno del triangolo \(DHG\))
\(H\hat GD=A\hat GF=20^\circ\) (angolo opposto al vertice)
\(H\hat DG=I\hat HK\)
\(K\hat IH=70^\circ\), quindi \(H\hat ID=110^\circ\)
\(H\hat ID=H\hat JD\)
\(I\hat HD=H\hat DJ\)
il quadrilatero convesso \(DIHJ\) ha somma degli angoli interni pari a \(360^\circ\)
quindi \(H\hat DJ+D\hat HI+110^\circ+110^\circ=360^\circ\)
da cui \(H\hat DJ=20^\circ\)

pure provando a misurarlo con cabri, viene \(20^\circ\)