rotazione attorno un vettore

[baldo89]

Si determini la matrice \( \displaystyle {R} \) che rappresenta una rotazione oraria di \( \displaystyle \frac{\pi}{{6}} \) attorno al vettore \( \displaystyle {v}={\left(\matrix{-{1}\\{1}\\{1}}\right)} \)
la matrice che rappresenta una rotazione attorno l'asse \( \displaystyle {z} \) nella base canonica è \( \displaystyle {A}={\left(\matrix{{\cos{{\left({k}\right)}}}&{\sin{{\left({k}\right)}}}&{0}\\-{\sin{{\left({k}\right)}}}&{\cos{{\left({k}\right)}}}&{0}\\{0}&{0}&{1}}\right)} \) a questo punto dovrò scrivere questa matrice in un altra base in modo che rappresenti una rotazione attorno\( \displaystyle {v} \) . ho scelto come base
\( \displaystyle {B}={\left(\matrix{{1}\\{0}\\{0}}\right)}{\left(\matrix{{0}\\{1}\\{0}}\right)}{\left(\matrix{-{1}\\{1}\\{1}}\right)} \) a questo punto scrivo la matrice cambiamento di base \( \displaystyle {C}={\left(\matrix{{1}&{0}&{1}\\{0}&{1}&-{1}\\{0}&{0}&{1}}\right)} \) così
ottengo finalmente \( \displaystyle {R}={C}{A} \) mettendo al posto di \( \displaystyle {k} \) \( \displaystyle -\frac{\pi}{{6}} \) poichè la rotazione è oraria . Dico bene? ho fatto errori?

[baldo89]

uo

[apatriarca]

Non è esatto. Prova a considerare per esempio l'immagine di \( \displaystyle {v} \) attraverso la tua rotazione:
\( \displaystyle {R}{v}={C}{A}{v}={\left(\matrix{{1}&{0}&{1}\\{0}&{1}&-{1}\\{0}&{0}&{1}}\right)}{\left(\matrix{{\cos{{\left({k}\right)}}}&{\sin{{\left({k}\right)}}}&{0}\\-{\sin{{\left({k}\right)}}}&{\cos{{\left({k}\right)}}}&{0}\\{0}&{0}&{1}}\right)}{\left(\matrix{-{1}\\{1}\\{1}}\right)}={\left(\matrix{{1}&{0}&{1}\\{0}&{1}&-{1}\\{0}&{0}&{1}}\right)}{\left(\matrix{-{\cos{{\left({k}\right)}}}+{\sin{{\left({k}\right)}}}\\{\sin{{\left({k}\right)}}}+{\cos{{\left({k}\right)}}}\\{1}}\right)}={\left(\matrix{{1}-{\cos{{\left({k}\right)}}}+{\sin{{\left({k}\right)}}}\\{\sin{{\left({k}\right)}}}+{\cos{{\left({k}\right)}}}-{1}\\{1}}\right)} \).
Come puoi vedere non è uguale a \( \displaystyle {v} \) come dovrebbe essere in una rotazione intorno a se stesso. Ci sono due problemi nella tua idea:
1. Per trasformare una matrice da una base all'altra non è sufficiente moltiplicare per la matrice di cambiamento di base, ma è necessario usare l'operazione di coniugio. La matrice \( \displaystyle {R} \) finale deve infatti rappresentare la rotazione nella base canonica. Preso quindi un vettore nella base canonica lo deve trasformare in un nuovo vettore espresso nella base canonica. Siccome la tua rotazione \( \displaystyle {A} \) rappresenta la tua rotazione relativamente ad un altra base, devi prima trasformare il vettore nella nuova base, poi applicare la rotazione e infine tornare alla base canonica. La tua matrice C manda un vettore nella nuova base alla base canonica, quindi la trasformazione finale deve essere: \( \displaystyle {R}={C}{A}{{C}}^{{-{1}}} \).
2. La base da te scelta non è ortonormale come credo debba essere.

[cirasa]

[mod="cirasa"]@baldo89: Sei un utente abbastanza esperto da sapere che, come da regolamento, non sono ammessi up prima di 24 ore. Non accada mai più.[/mod]

[baldo89]

Intanto grazie mille
vediamo se ho capito
La matrice \( \displaystyle {A} \) rappresenta una rotazione nella base canonica attorno all'asse \( \displaystyle {z} \). Moltiplicando \( \displaystyle {C} \) ( che è la matrice cambiamento di base ) per \( \displaystyle {A} \) ottengo una matrice che rappresenta una rotazione attorno il vettore \( \displaystyle {v} \) nella nuova base, a questo punto moltiplico \( \displaystyle {C}{A} \) per l'inversa di \( \displaystyle {C} \)(anche se a questo passaggio non ho ben capito come ci si arriva) ed ottengo una matrice che rappresenta una rotazione attorno a \( \displaystyle {v} \) nella base canonica.
Perchè la base deve essere ortonormale?
per cirasa : chiedo venia

[folletto89]

ma come è possibile che la base sia ortonormale se bisogna includervi il vettore \( \displaystyle {\left(\matrix{-{1}&{1}&{1}}\right)} \) ?
Mi chiedevo anche se i vettori della nuova base non debbano essere ortogonali tra loro dal momento che la rotazione attorno al vettore avviene appunto in un piano ortogonale ad esso.

[baldo89]

probabilmente la nuova base deve essere ortogonale non ortonormale altrimenti come dici tu il vettore \( \displaystyle {v} \) non si riesce ad includere.
Che cosa ne pensi del mio ragionamento che ho fatto sopra?

[folletto89]

secondo me non è proprio corretto perchè tu parli di cambiamento di base tramite la moltiplicazione di \( \displaystyle {A} \) per \( \displaystyle {C} \) o la sua inversa ma questo non è possibile perchè credo che il cambiamento di base di un operatore avvenga solo tramite una trasformazione di similitudine che quindi già comprende le due operazioni che tu ritieni separate. Io credo che il punto di partenza sia sbagliato: infatti la matrice A rappresenta come hai detto tu la rotazione attorno all'asse z ma solo se la consideri espressa nella base canonica; più in generale essa rappresenta a rotazione attorno al terzo asse della base in cui è espressa: nel nostro caso consideriamola espressa nella nuova base, per me \( \displaystyle {\left(\matrix{{1}&{1}&-{1}\\{0}&{0}&{1}\\-{1}&{1}&{1}}\right)} \) così sono ortogonali. la matrice esprime già una rotazione attorno al terzo vettore che è quello che ci interessa (pensa infatti che ogni vettore di base espresso nella propria base ha le coordinate di uno dei vettori della base canonica). A questo punto dobbiamo esprimere la matrice nella base canonica mediante l'operazione di similitudine \( \displaystyle {R}={{T}}^{{-{1}}}{A}{T} \). Però la matrice del cambiamento di base è tale da avere per colonne i vettori della vecchia base espressi nella nuova per cui nel nostro caso quelli della seconda nella base canonica; ma questa matrice non è altro che C. Quindi \( \displaystyle {R}={{C}}^{{-{1}}}{A}{C} \). Non sono sicura che sia così, è solo un'ipotesi.
ps ho messo anche l'integrale che non sappiamo fare ma non ha risposto nessuno

[apatriarca]

Non esiste alcuna ragione per cui si debba usare \( \displaystyle {{\left(-{1},{1},{1}\right)}}^{{t}} \) invece del vettore normalizzato \( \displaystyle {{\left(-\frac{{1}}{\sqrt{{{3}}}},\frac{{1}}{\sqrt{{{3}}}},\frac{{1}}{\sqrt{{{3}}}}\right)}}^{{t}} \). Se la rotazione è intorno al primo, lo è ovviamente anche intorno al secondo. Non è comunque necessario che la base sia ortonormale. È infatti solo necessario che la rotazione finale si decomponga nell'identità sul sottospazio generato da \( \displaystyle {v} \) e nella rotazione di \( \displaystyle \frac{\pi}{{6}} \) nel sottospazio perpendicolare a \( \displaystyle {v} \). La base deve essere ortogonale e i vettori perpendicolari a \( \displaystyle {v} \) devono avere la stessa lunghezza. Nel tuo caso questo non avviene. La tua trasformazione fissa infatti la retta generata da \( \displaystyle {v} \) e il piano \( \displaystyle {z}={0} \) che non è perpendicolare a \( \displaystyle {v} \). In seguito uso una base ortonormale.

Uso il metodo di Gram-Schmidt sull'insieme \( \displaystyle {\left\lbrace{v},{i}.{j}\right\rbrace} \) ottenendo (i dettagli li ho tolti per comodità) la matrice di cambiamento di base
\( \displaystyle {C}={\left(\matrix{\frac{\sqrt{{{6}}}}{{3}}&{0}&-\frac{\sqrt{{{3}}}}{{3}}\\\frac{\sqrt{{{6}}}}{{6}}&\frac{\sqrt{{{2}}}}{{2}}&\frac{\sqrt{{{3}}}}{{3}}\\\frac{\sqrt{{{6}}}}{{6}}&-\frac{\sqrt{{{2}}}}{{2}}&\frac{\sqrt{{{3}}}}{{3}}}\right)}. \)
Questa matrice trasforma un vettore espresso nella base data dalle sue colonne, nello stesso vettore espresso nella base canonica. Essendo una base ortonormale la sua inversa è la sua trasposta:
\( \displaystyle {{C}}^{{-{1}}}={{C}}^{{t}}={\left(\matrix{\frac{\sqrt{{{6}}}}{{3}}&\frac{\sqrt{{{6}}}}{{6}}&\frac{\sqrt{{{6}}}}{{6}}\\{0}&\frac{\sqrt{{{2}}}}{{2}}&-\frac{\sqrt{{{2}}}}{{2}}\\-\frac{\sqrt{{{3}}}}{{3}}&\frac{\sqrt{{{3}}}}{{3}}&\frac{\sqrt{{{3}}}}{{3}}}\right)}. \)
Questa matrice trasforma un vettore espresso nella base canonica, in uno espresso nella base data dalle sue righe.

Nella nuova base ortogonale calcolate la rotazione intorno a \( \displaystyle {v} \) è la rotazione intorno alla terza base espressa nella matrice \( \displaystyle {A} \). Se \( \displaystyle {k}=-\frac{\pi}{{6}} \) (rotazione oraria) come richiesto dall'esercizio allora la matrice diventa:
\( \displaystyle {A}={\left(\matrix{-\frac{\sqrt{{{3}}}}{{2}}&-\frac{{1}}{{2}}&{0}\\\frac{{1}}{{2}}&-\frac{\sqrt{{{3}}}}{{2}}&{0}\\{0}&{0}&{1}}\right)}. \)
Questa matrice rappresenta la trasformazione nella nuova base. Per trasformare un vettore espresso nella base canonica dobbiamo quindi prima trasformare questo vettore nella nuova base (usando \( \displaystyle {{C}}^{{-{1}}} \)), trasformare il vettore usando \( \displaystyle {A} \) e infine esprimere il vettore trovato nuovamente nella base canonica usando \( \displaystyle {C} \). La rotazione è quindi
\( \displaystyle {R}={C}\cdot{A}\cdot{{C}}^{{-{1}}}={\left(\matrix{\frac{\sqrt{{{6}}}}{{3}}&{0}&-\frac{\sqrt{{{3}}}}{{3}}\\\frac{\sqrt{{{6}}}}{{6}}&\frac{\sqrt{{{2}}}}{{2}}&\frac{\sqrt{{{3}}}}{{3}}\\\frac{\sqrt{{{6}}}}{{6}}&-\frac{\sqrt{{{2}}}}{{2}}&\frac{\sqrt{{{3}}}}{{3}}}\right)}{\left(\matrix{-\frac{\sqrt{{{3}}}}{{2}}&-\frac{{1}}{{2}}&{0}\\\frac{{1}}{{2}}&-\frac{\sqrt{{{3}}}}{{2}}&{0}\\{0}&{0}&{1}}\right)}{\left(\matrix{\frac{\sqrt{{{6}}}}{{3}}&\frac{\sqrt{{{6}}}}{{6}}&\frac{\sqrt{{{6}}}}{{6}}\\{0}&\frac{\sqrt{{{2}}}}{{2}}&-\frac{\sqrt{{{2}}}}{{2}}\\-\frac{\sqrt{{{3}}}}{{3}}&\frac{\sqrt{{{3}}}}{{3}}&\frac{\sqrt{{{3}}}}{{3}}}\right)}={\left(\matrix{\frac{{{1}-\sqrt{{{3}}}}}{{3}}&-\frac{{1}}{{3}}&-\frac{{{1}+\sqrt{{{3}}}}}{{3}}\\-\frac{{{1}+\sqrt{{{3}}}}}{{3}}&\frac{{{1}-\sqrt{{{3}}}}}{{3}}&\frac{{1}}{{3}}\\-\frac{{1}}{{3}}&\frac{{{1}+\sqrt{{{3}}}}}{{3}}&\frac{{{1}-\sqrt{{{3}}}}}{{3}}}\right)}. \)

[folletto89]

Hai ragione sulla base che ho scelto: i vettori non sono ortogonali perchè ho sbagliato i conti. Il ragionamento che ho fatto era questo: dato il vettore \( \displaystyle {\left(\matrix{-{1}&{1}&{1}}\right)} \) gli altri due vettori di base li devo scegliere tra quelli ortogonali tra loro ed appartenenti al piano ortogonale al vettore stesso. Quindi pongo il prodotto scalare tra il vettore in questione ed uno generico uguale a zero in modo da trovare l'equazione del piano:
\( \displaystyle {\left(\matrix{-{1}&{1}&{1}}\right)}{\left(\matrix{{x}\\{y}\\{z}}\right)} \) , si ottiene \( \displaystyle {z}={x}-{y} \) quindi scelgo per esempio \( \displaystyle {\left(\matrix{{1}&{0}&{1}}\right)} \) ; per trovare l'ultimo vettore di base ripeto la stessa operazione con il secondo in modo da trovare una condizione aggiuntiva ( ortogonalità tra secondo e terzo vettore ) da aggiungere alla precedente (appartenenza al piano ortogonale al primo). E' corretto?
Riguardo al resto il procedimento cioè il prodotto \( \displaystyle {R}={C}{A}{{C}}^{{-{1}}} \) è corretto anche se si sceglie una base solamente ortogonale anzichè ortonormale?