Rotazione dei corpi rigidi,teorema degli assi perpendicolari

[antoniomont82]

Ho visto e capito la dimostrazione di Huygens-Steiner(assi paralleli),cioè che il momento d'inerzia rispetto un asse parallelo al centro di massa è uguale all'mom.inerzia del centro di massa + la masse per la distanza tra gli assi al quadrato.
Però nn riesco a capire la dismotrazione del terorema degli assi perpendicolari,che è questa:

Ix=∑mi yi^2 I=momento d'inerzia rispetto x (A)
Iy=∑mi xi^2 (B)

Iy+Ix=∑mi (yi^2+xi^2) (C)

Iz=∑mi hi^2 (D)

nel punto (A) e (B) ho invertito le componenti?ho sbagliato a scrivere?
nel punto (C) perchè Ix + Iy danno Iz??
nel punto (D) chi è hi?
perchè quando facciamo il mom.d'inerzia rispetto ad un asse perp all'asse del centro di massa,facciamo Ix + Iy=Icm(centro di massa)?quindi se Ix e Iy sono uguali
Iz=Icm/2..

grazie mille e del vostro aiuto..
grazieeeeeeeeeeeeeeeeeee
ciaoooooooooooooooo [/code][/list]

[cavallipurosangue]

Ciao non so se ti sarà sempre utile, ma visto che nessuno ti ha ancora risposto...

In generale se prendi un asse di direzione parallela al versore \( \displaystyle {\vec{{{u}}}} \) ed un punto qualsiasi di comodo appartenente all'asse (per comodità ma non ce ne sarebbe bisogno se usi anche il th degli assi paralleli), il momento d'inerzia rispetto a quest'asse si calcola:

\( \displaystyle {I}_{{{\vec{{{u}}}}}}={\sum_{{{i}={1}}}^{{n}}}{m}_{{i}}{{\left({\vec{{{u}}}}\wedge{O}{P}_{{i}}\right)}}^{{2}} \), dove \( \displaystyle {\vec{{{u}}}}\wedge{O}{P}_{{i}} \) altro non è che la distanza della massa puntiforme (in questo caso) dall'asse scelto \( \displaystyle {r}_{{i}} \).

Adesso se prendiamo un sistema di assi cartesiani (per semplicità principale d'inerzia) e scriviamo per ognuno di essi la relazione trovata sopra:

\( \displaystyle {\left\lbrace\matrix{{I}_{{{x}{x}}}={\sum_{{{i}={1}}}^{{n}}}{m}_{{i}}{\left({{y}}^{{2}}+{{z}}^{{2}}\right)}\\{I}_{{{y}{y}}}={\sum_{{{i}={1}}}^{{n}}}{m}_{{i}}{\left({{x}}^{{2}}+{{z}}^{{2}}\right)}\\{I}_{{{z}{z}}}={\sum_{{{i}={1}}}^{{n}}}{m}_{{i}}{\left({{x}}^{{2}}+{{y}}^{{2}}\right)}}\right.} \)

La formula che tu hai scritto vale solo per dei tipi di corpi rigidi, quelli piani dove per esempio l'estensione lungo \( \displaystyle {z} \) è trascurabile, e quindi puoi puer toglierla dalle formule di sopra, per trovare quello che cercavi tu...

Ciao