rotazioni in \( \displaystyle {{\mathbb{{R}}}}^{{3}} \)

[marco.bre]

Facendo tutt'altro mi son reso conto di aver seri problemi con le rotazioni nello spazio. Nello specifico volevo ruotare il piano \( \displaystyle {x}+{y}+{z}={3} \) in modo da renderlo parallelo al piano \( \displaystyle {x}{y} \) ottenendo un'equazione del tipo \( \displaystyle {z}=\text{costante} \); la trasformazione cercata è data dunque dalla combinazione di una rotazione di \( \displaystyle \frac{\pi}{{4}} \) attorno all'asse \( \displaystyle {z} \) e di una rotazione sempre di \( \displaystyle \frac{\pi}{{4}} \) attorno all'asse \( \displaystyle {x} \). Dunque preso il vettore \( \displaystyle {n}={\left({1},{1},{1}\right)} \) che rappresenta la direzione normale al piano \( \displaystyle {x}+{y}+{z}={3} \) le due rotazioni dovrebbero darmi un vettore diretto lungo l'asse \( \displaystyle {z} \). Detto questo procedo con i calcoli

rotazione attorno all'asse \( \displaystyle {z} \)
\( \displaystyle {\left(\matrix{\frac{{1}}{\sqrt{{2}}}&-\frac{{1}}{\sqrt{{2}}}&{0}\\\frac{{1}}{\sqrt{{2}}}&\frac{{1}}{\sqrt{{2}}}&{0}\\{0}&{0}&{1}}\right)}{\left(\matrix{{1}\\{1}\\{1}}\right)}={\left(\matrix{{0}\\\sqrt{{2}}\\{1}}\right)} \)

rotazione attorno all'asse \( \displaystyle {x} \)
\( \displaystyle {\left(\matrix{{1}&{0}&{0}\\{0}&\frac{{1}}{\sqrt{{2}}}&-\frac{{1}}{\sqrt{{2}}}\\{0}&\frac{{1}}{\sqrt{{2}}}&\frac{{1}}{\sqrt{{2}}}}\right)}{\left(\matrix{{0}\\\sqrt{{2}}\\{1}}\right)}={\left(\matrix{{0}\\{0}\\\sqrt{{2}}}\right)} \)

e quindi il risultato mi incoraggia a pensare di aver svolto tutto correttamente. Voi che dite?
Inoltre mi restano comunque dei dubbi
(1) nella seconda rotazione parto dal vettore \( \displaystyle {\left({0},\sqrt{{2}},{1}\right)} \) di norma \( \displaystyle \sqrt{{3}} \) e trovo il vettore \( \displaystyle {\left({0},{0},\sqrt{{2}}\right)} \) di norma \( \displaystyle \sqrt{{2}} \); ma la rotazione, che è un'isometria, non dovrebbe conservare la norma?
(2) se chiamo \( \displaystyle {A} \) la matrice associata alla prima rotazione e \( \displaystyle {B} \) quella associata alla seconda, potrei calcolarmi direttamente la matrice associata alla composizione come \( \displaystyle {B}{A} \); provando a fare i calcoli però i conti non tornano: possibile?

Ringrazio anticipatamente chi risponderà. So che non dovrebbero essere cose difficili, ma mi sento piuttosto confuso.

[Quinzio]

Facendo tutt'altro mi son reso conto di aver seri problemi con le rotazioni nello spazio. Nello specifico volevo ruotare il piano \( \displaystyle {x}+{y}+{z}={3} \) in modo da renderlo parallelo al piano \( \displaystyle {x}{y} \) ottenendo un'equazione del tipo \( \displaystyle {z}=\text{costante} \); la trasformazione cercata è data dunque dalla combinazione di una rotazione di \( \displaystyle \frac{\pi}{{4}} \) attorno all'asse \( \displaystyle {z} \) e di una rotazione sempre di \( \displaystyle \frac{\pi}{{4}} \) attorno all'asse \( \displaystyle {x} \). Dunque preso il vettore \( \displaystyle {n}={\left({1},{1},{1}\right)} \) che rappresenta la direzione normale al piano \( \displaystyle {x}+{y}+{z}={3} \) le due rotazioni dovrebbero darmi un vettore diretto lungo l'asse \( \displaystyle {z} \). Detto questo procedo con i calcoli

rotazione attorno all'asse \( \displaystyle {z} \)
\( \displaystyle {\left(\matrix{\frac{{1}}{\sqrt{{2}}}&-\frac{{1}}{\sqrt{{2}}}&{0}\\\frac{{1}}{\sqrt{{2}}}&\frac{{1}}{\sqrt{{2}}}&{0}\\{0}&{0}&{1}}\right)}{\left(\matrix{{1}\\{1}\\{1}}\right)}={\left(\matrix{{0}\\\sqrt{{2}}\\{1}}\right)} \)

rotazione attorno all'asse \( \displaystyle {x} \)
\( \displaystyle {\left(\matrix{{1}&{0}&{0}\\{0}&\frac{{1}}{\sqrt{{2}}}&-\frac{{1}}{\sqrt{{2}}}\\{0}&\frac{{1}}{\sqrt{{2}}}&\frac{{1}}{\sqrt{{2}}}}\right)}{\left(\matrix{{0}\\\sqrt{{2}}\\{1}}\right)}={\left(\matrix{{0}\\{0}\\\sqrt{{2}}}\right)} \)

e quindi il risultato mi incoraggia a pensare di aver svolto tutto correttamente. Voi che dite?

La prima rotazione su \( \displaystyle {z} \) va bene, ma la seconda no.
L'angolo della seconda rotazione non è \( \displaystyle \frac{\pi}{{4}} \). Lascio a te di ri-pensare a quanto è .

Inoltre mi restano comunque dei dubbi
(1) nella seconda rotazione parto dal vettore \( \displaystyle {\left({0},\sqrt{{2}},{1}\right)} \) di norma \( \displaystyle \sqrt{{3}} \) e trovo il vettore \( \displaystyle {\left({0},{0},\sqrt{{2}}\right)} \) di norma \( \displaystyle \sqrt{{2}} \); ma la rotazione, che è un'isometria, non dovrebbe conservare la norma?

Si infatti conserva la norma. Hai fatto degli errori nei calcoli .
La componente \( \displaystyle {y} \) si vede ad occhio che non può essere zero.

(2) se chiamo \( \displaystyle {A} \) la matrice associata alla prima rotazione e \( \displaystyle {B} \) quella associata alla seconda, potrei calcolarmi direttamente la matrice associata alla composizione come \( \displaystyle {B}{A} \); provando a fare i calcoli però i conti non tornano: possibile?

Certo che puoi fare direttamente la composizione. Riguarda il tutto a questo punto.

Ringrazio anticipatamente chi risponderà. So che non dovrebbero essere cose difficili, ma mi sento piuttosto confuso.

[marco.bre]

Grazie Quinzio! Allora, per la seconda rotazione non capisco cosa c'è che non va, nel senso: l'angolo di una rotazione è antiorario cioè destrorso rispetto alla direzione uscente dell'asse \( \displaystyle {x} \), per cui dovrebbe essere ok in quanto la matrice associata ad una rotazione di un angolo \( \displaystyle \theta \) attorno all'asse \( \displaystyle {x} \) è

\( \displaystyle {\left(\matrix{{1}&{0}&{0}\\{0}&{\cos{{\left(\theta\right)}}}&-{\sin{{\left(\theta\right)}}}\\{0}&{\sin{{\left(\theta\right)}}}&{\cos{{\left(\theta\right)}}}}\right)} \).

Guardando questa pagina di wikipedia
http://it.wikipedia.org/wiki/Rotazione_%28matematica%29
vedo che nell'immagine relativa alle rotazioni nello spazio le frecce che indicano la rotazione sono al contrario di come le metterei io e non ne capisco il motivo! Mi verebbe quindi da concludere che quella che ho scritto io è la matrice di una rotazione di \( \displaystyle -\frac{\pi}{{4}} \) attorno all'asse \( \displaystyle {x} \) ma a questo punto ti chiederei gentilmente di spiegarmi il motivo!

Per gli errori di calcolo mi limito ad imbarazzarmi e a giustificare i miei errori dicendo che sono stati causati dallo sconforto: sai trovare un controesempio alla composizione di funzioni mediante matrici associate può essere sconcertante!!!

[marco.bre]

Ho provato a fare la rotazione di \( \displaystyle -\frac{\pi}{{4}} \), ma non funziona. Inoltre pensavo: se \( \displaystyle {\left({1},{1},{1}\right)} \) dopo la prima rotazione va in \( \displaystyle {\left({0}.\sqrt{{2}},{1}\right)} \), per raddrizzarlo lungo l'asse \( \displaystyle {z} \) devo compiere una rotazione di un angolo pari al complementare dell'angolo tra il vettore \( \displaystyle {\left({0}.\sqrt{{2}},{1}\right)} \) e l'asse \( \displaystyle {y} \), ossia \( \displaystyle {\arctan{{\left(\frac{{1}}{\sqrt{{2}}}\right)}}} \)?

[Quinzio]

Ho provato a fare la rotazione di \( \displaystyle -\frac{\pi}{{4}} \), ma non funziona. Inoltre pensavo: se \( \displaystyle {\left({1},{1},{1}\right)} \) dopo la prima rotazione va in \( \displaystyle {\left({0}.\sqrt{{2}},{1}\right)} \), per raddrizzarlo lungo l'asse \( \displaystyle {z} \) devo compiere una rotazione di un angolo pari al complementare dell'angolo tra il vettore \( \displaystyle {\left({0}.\sqrt{{2}},{1}\right)} \) e l'asse \( \displaystyle {y} \), ossia \( \displaystyle {\arctan{{\left(\frac{{1}}{\sqrt{{2}}}\right)}}} \)?

Ovvero una rotazione pari all'angolo tra la normale al piano e l'asse z. Mi sembra più "ovvio" detto cosi'.
E come fai a calcolare l'angolo ? Non va bene.

[marco.bre]

Ovvero una rotazione pari all'angolo tra la normale al piano e l'asse z. Mi sembra più "ovvio" detto cosi'.
E come fai a calcolare l'angolo ? Non va bene.

L'angolo convesso tra due vettori \( \displaystyle {u},{v} \) è \( \displaystyle {\arccos{{\left(\frac{{\lt{u},{v}\gt}}{{{\left|{\left|{u}\right|}\right|}{\left|{\left|{v}\right|}\right|}}}\right)}}} \) per cui l'angolo tra la normale al piano e l'asse \( \displaystyle {z} \) è

\( \displaystyle {\arccos{{\left(\frac{{\lt{\left({1},{1},{1}\right)},{\left({0},{0},{1}\right)}\gt}}{{{\left|{\left|\matrix{{1}&{1}&{1}}\right|}\right|}{\left|{\left|\matrix{{0}&{0}&{1}}\right|}\right|}}}\right)}}}={\arccos{{\left(\frac{{1}}{\sqrt{{3}}}\right)}}} \)

[Quinzio]

Ecco, quello è l'angolo corretto.

[marco.bre]

Ricapitolando, ho il vettore \( \displaystyle {n}={\left({1},{1},{1}\right)} \) normale al piano. L'angolo \( \displaystyle \alpha \) tra la proiezione di \( \displaystyle {n} \) sul piano \( \displaystyle {x}{y} \) e l'asse \( \displaystyle {y} \) è dato da

\( \displaystyle \alpha={\arccos{{\left(\frac{{\lt{\left({1},{1},{0}\right)},{\left({0},{1},{0}\right)}\gt}}{{{\left|\matrix{{1}&{1}&{0}}\right|}{\left|\matrix{{0}&{1}&{0}}\right|}}}\right)}}}={\arccos{{\left(\frac{{1}}{\sqrt{{2}}}\right)}}}=\frac{\pi}{{4}} \)

per cui la prima rotazione è data da

\( \displaystyle {{R}}^{{z}}_\frac{\pi}{{4}}={\left(\matrix{\frac{{1}}{\sqrt{{2}}}&-\frac{{1}}{\sqrt{{2}}}&{0}\\\frac{{1}}{\sqrt{{2}}}&\frac{{1}}{\sqrt{{2}}}&{0}\\{0}&{0}&{1}}\right)}{\left(\matrix{{1}\\{1}\\{1}}\right)}={\left(\matrix{{0}\\\sqrt{{2}}\\{1}}\right)} \)

L'angolo \( \displaystyle \beta \) tra il vettore \( \displaystyle {\left({0},\sqrt{{2}},{1}\right)} \) e l'asse \( \displaystyle {z} \) è dato da

\( \displaystyle \beta={\arccos{{\left(\frac{{\lt{\left({0},\sqrt{{2}},{1}\right)},{\left({0},{0},{1}\right)}\gt}}{{{\left|\matrix{{0}&\sqrt{{2}}&{1}}\right|}{\left|\matrix{{0}&{0}&{1}}\right|}}}\right)}}}={\arccos{{\left(\frac{{1}}{\sqrt{{3}}}\right)}}} \)

per cui, osservando che \( \displaystyle {\sin{{\left({\arccos{{\left(\frac{{1}}{\sqrt{{3}}}\right)}}}\right)}}}=\sqrt{{{1}-{{\left(\frac{{1}}{\sqrt{{3}}}\right)}}^{{2}}}}=\frac{\sqrt{{2}}}{\sqrt{{3}}} \), la seconda rotazione è data da

\( \displaystyle {{R}}^{{x}}_{\arccos{{\left(\frac{{1}}{\sqrt{{3}}}\right)}}}={\left(\matrix{{1}&{0}&{0}\\{0}&\frac{{1}}{\sqrt{{3}}}&-\frac{\sqrt{{2}}}{\sqrt{{3}}}\\{0}&\frac{\sqrt{{2}}}{\sqrt{{3}}}&\frac{{1}}{\sqrt{{3}}}}\right)}{\left(\matrix{{0}\\\sqrt{{2}}\\{1}}\right)}={\left(\matrix{{0}\\{0}\\\sqrt{{3}}}\right)} \)

Dunque l'isometria cercata è data dalla composizione delle due rotazioni

\( \displaystyle \psi={\left(\matrix{{1}&{0}&{0}\\{0}&\frac{{1}}{\sqrt{{3}}}&-\frac{\sqrt{{2}}}{\sqrt{{3}}}\\{0}&\frac{\sqrt{{2}}}{\sqrt{{3}}}&\frac{{1}}{\sqrt{{3}}}}\right)}{\left(\matrix{\frac{{1}}{\sqrt{{2}}}&-\frac{{1}}{\sqrt{{2}}}&{0}\\\frac{{1}}{\sqrt{{2}}}&\frac{{1}}{\sqrt{{2}}}&{0}\\{0}&{0}&{1}}\right)}={\left(\matrix{\frac{{1}}{\sqrt{{2}}}&-\frac{{1}}{\sqrt{{2}}}&{0}\\\frac{{1}}{\sqrt{{6}}}&\frac{{1}}{\sqrt{{6}}}&-\frac{\sqrt{{2}}}{\sqrt{{3}}}\\\frac{{1}}{\sqrt{{3}}}&\frac{{1}}{\sqrt{{3}}}&\frac{{1}}{\sqrt{{3}}}}\right)} \)

Tornando al piano \( \displaystyle {p}:{x}+{y}+{z}={3} \), poichè \( \displaystyle {\left({1},{1},{1}\right)}\in{p} \) e \( \displaystyle \psi{\left({1},{1},{1}\right)}={\left({0},{0},\sqrt{{3}}\right)} \), posso concludere che l'immagine di \( \displaystyle {p} \) attraverso \( \displaystyle \psi \) è il piano passante per \( \displaystyle {\left({0},{0},\sqrt{{3}}\right)} \) e parallelo al piano \( \displaystyle {x}{y} \), ossia \( \displaystyle {z}=\sqrt{{3}} \).