Rumore bianco passabasso

[Andre@]

Sia \( \displaystyle {n}{\left({t},\zeta\right)} \) un segnale aleatorio stazionario la cui densità spettrale di potenza è \( \displaystyle {W}_{{n}}{\left({f}\right)}=\eta\cdot{r}{e}{c}{t}{\left(\frac{{f}}{{{2}{f}_{{m}}}}\right)} \)
L'autocorrelazione, \( \displaystyle {R}_{{n}}{\left(\tau\right)} \), è definita come l'antitrasformata della densità spettrale, cioè \( \displaystyle {\int_{{-{\infty}}}^{{+\infty}}}\eta\cdot{{e}}^{{{j}{2}\pi{f{\tau}}}}{d}\tau \)
poichè \( \displaystyle {W}_{{n}}{\left({f}\right)}={0} \) al di fuori di \( \displaystyle {\left[-{f}_{{m}},{f}_{{m}}\right]} \), si ha: \( \displaystyle {R}_{{n}}{\left(\tau\right)}={\int_{{-{f}_{{m}}}}^{{+{f}_{{m}}}}}\eta\cdot{{e}}^{{{j}{2}\pi{f{\tau}}}}{d}\tau=\eta\cdot\frac{{1}}{{{j}{2}\pi{f}}}{{\left[{{e}}^{{{j}{2}\pi{f{\tau}}}}\right]}_{{-{f}_{{m}}}}^{{+{f}_{{m}}}}} \)

Il libro porta come risultato \( \displaystyle {R}_{{n}}{\left(\tau\right)}={2}\eta{f}_{{m}}{\sin{{c}}}{\left({2}{f}_{{m}}\tau\right)}\lt{b}\frac{{r}}{\gt}\lt{b}\frac{{r}}{\gt}{M}{a}{m}{i}{s}{\quad\text{or}\quad}{g{{o}}}{n}{o}{d}{e}{i}{d}{u}{\mathbf{{i}}}:\lt{b}\frac{{r}}{\gt}{A}{l}{p}{u}{n}\to\in{c}{u}{i}{s}{o}{n}{o}{a}{r}{r}{i}{v}{a}\to,{d}{e}{v}{o}{\quad\text{and}\quad}{a}{r}{e}{a}{d}{a}{p}{p}{l}{i}{c}{a}{r}{e}{i}{l}{t}{e}{\quad\text{or}\quad}{e}{m}{a}{f{{o}}}{n}{d}{a}{m}{e}{n}{t}{a}\le\partial{c}{a}{l}{c}{o}{l}{o}\int{e}{g{{r}}}{a}\le,{q}{u}\in{d}{i}{s}{o}{s}{t}{i}{t}{u}{i}{r}{e}{d}{o}{v}{e}{c}'è \)tau\( \displaystyle , \)+f_m\( \displaystyle {e}{p}{o}{i} \)-f_m\( \displaystyle {\left(\right.} \)F(f_m)-F(-f_m)\( \displaystyle \)\lt{b}\frac{{r}}{\gt}{c}{o}{m}{e}{f{{a}}}{q}{u}\in{d}{i}{a}{c}{o}{m}{p}{a}{r}{i}{r}{e}\ne{l}{l}'{e}{s}{p}{r}{e}{s}{s}{i}{o}\ne{f{\in}}{a}\le{a}{n}{c}{\quad\text{or}\quad}{a} \)tau\( \displaystyle ?\lt{b}\frac{{r}}{\gt}\in{o}\lt{r}{e}{s}{e}{g{{l}}}{i}{e}{s}{t}{r}{e}{m}{i}{d}{i}\int{e}{g{{r}}}{a}{z}{i}{o}\ne{l}{i}{v}{a}{d}{o}{a}{s}{o}{s}{t}{i}{t}{u}{i}{r}{e}{a}{d} \)f\( \displaystyle {e}{n}{o}{n}{a} \)tau\( \displaystyle {\left({c}{o}{m}{e}{p}{a}{r}{e}{f{{a}}}{\mathcal{{i}}}{a}{i}{l}{l}{i}{b}{r}{o}\right)},{d}{a}{d}{o}{v}{e}{g{{l}}}{i}{s}{p}{u}{n}{t}{a}{q}{u}{e}{l}{f{{a}}}{\mathtt{{\quad\text{or}\quad}}}{e} \)f_m\( \displaystyle {c}{h}{e}{m}{o}\lt{i}{p}{l}{i}{c}{a} \)2eta$?

[Ska]

ovviamente l'integrale è fatto rispetto alla variabile \( \displaystyle {f} \), dato che vuoi passare dal dominio delle frequenze a quello dei tempi!

[Andre@]

ovviamente l'integrale è fatto rispetto alla variabile \( \displaystyle {f} \), dato che vuoi passare dal dominio delle frequenze a quello dei tempi!

Il libro integra in \( \displaystyle {d}\tau \), non solo in questo caso ma anche per calcolarsi l'autocorrelazione di un rumore bianco passabanda

[Ska]

Allora... se dici che l'autocorrelazione è l'antitrasformata di Fourier della densità spettrale \( \displaystyle W_X(f) \) , allora dovrò considerare l'antitrasformata del segnale \( \displaystyle W_X(f) \) che risulta essere \( \displaystyle \int_\mathbb{R} W_X(f) e^{j2\pi f \tau} df \) , giustamente \( \displaystyle \tau \) è un parametro dato che voglio cambiare dominio rispetto a quello frequenziale, quindi l'integrare risulta essere fatto rispetto a \( \displaystyle f \) . Quindi nel caso specifico risulta \( \displaystyle R_X(\tau) = \int_\mathbb{R} W_X(f) e^{j2\pi f \tau} df = \int_{-f_m}^{f_m} \eta e^{j2\pi f\tau}df = \eta \left[\frac{e^{j2\pi f \tau}}{j2\pi\tau}\right ]_{-f_m}^{f_m} = \eta \left[\frac{e^{j2\pi f_m \tau} - e^{-j2\pi f_m \tau}}{j2\pi\tau}\right ] = 2\eta \frac{sin(2\pi f_m \tau)}{2\pi\tau} = 2\eta sinc(2f_m\tau) \)

È chiaro che nel procedimento che hai riportato c'è qualcosa che non va, e banalmente secondo me è un "errore di stampa" quel \( \displaystyle d\tau \)

[Andre@]

Il libro porta come risultato $R_n(tau)=2etaf_msinc(2f_mtau)

[Ska]

Il libro porta come risultato $R_n(tau)=2etaf_msinc(2f_mtau)

Piccolo mio errore \( \displaystyle 2\eta \frac{sin(2\pi f_m \tau)}{2\pi\tau} =2f_m\eta \frac{sin(2\pi f_m \tau)}{2\pi\tau f_m} = 2f_m\eta sinc(2f_m\tau) \) , alle 3 di notte capita qualche svista...

[Andre@]

Il libro porta come risultato \( \displaystyle {R}_{{n}}{\left(\tau\right)}={2}\eta{f}_{{m}}{\sin{{c}}}{\left({2}{f}_{{m}}\tau\right)}\lt{b}\frac{{r}}{\gt}\frac{\lt}{\div}\gt\frac{\lt}{{b}}{l}{o}{c}{k}{q}{u}{o}{t}{e}\gt\frac{\lt}{\div}\gt\frac{\lt}{{b}}{l}{o}{c}{k}{q}{u}{o}{t}{e}\gt\lt{b}\frac{{r}}{\gt}\lt{b}\frac{{r}}{\gt}\Pi{\mathcal{{o}}}{l}{o}{m}{i}{o}{e}{r}{r}{\quad\text{or}\quad}{e}{\left({d}{i}{s}{p}{l}{a}{y}{s}{t}{y}\le{2}\eta{\frac{{{\sin{{\left({2}\pi{f}_{{m}}\tau\right)}}}}}{{{2}\pi\tau}}}={2}{f}_{{m}}\eta{\frac{{{\sin{{\left({2}\pi{f}_{{m}}\tau\right)}}}}}{{{2}\pi\tau{f}_{{m}}}}}={2}{f}_{{m}}\eta{\sin{{c}}}{\left({2}{f}_{{m}}\tau\right)}\right)},{a}{l}\le{3}{d}{i}\neg{t}{e}\cap{i}{t}{a}{q}{u}{a}{l}{c}{h}{e}{s}{v}{i}{s}{t}{a}\ldots\frac{\lt}{\div}\gt\frac{\lt}{{b}}{l}{o}{c}{k}{q}{u}{o}{t}{e}\gt\lt{b}\frac{{r}}{\gt}\lt{b}\frac{{r}}{\gt}{O}{k}{g{{r}}}{a}{z}{i}{e},\ne{a}{n}{c}{h}{e}{i}{o}{c}{i}{a}{v}{e}{v}{o}{f{{a}}}{\mathtt{{o}}}{c}{a}{s}\odot{Q}{u}\in{d}{i}{l}'{e}{r}{r}{\quad\text{or}\quad}{e}\partial{l}{i}{b}{r}{o}è{q}{u}{e}{l} \)d tau$

Andre@

Junior Member

 

Messaggi: 232

Iscritto il: 15/09/2008, 22:48

Località: Sicilia

Top