Scienza delle Costruzioni, asse centrale

[a.dematteis]

Vorrei porvi una domanda riguardante Scienza delle Costruzioni, sull'asse centrale.
Si definise momento del vettore applicato \( \displaystyle {\left({A},{R}\right)} \) rispetto al punto \( \displaystyle {O} \), detto polo, il vettore libero \( \displaystyle {m}{\left({O}\right)} \) così definito:

\( \displaystyle {m}{\left({O}\right)}={\left({A}-{O}\right)}\times{R} \).

Si consideri quest'immagine, in cui vi è il polo \( \displaystyle {O} \) e la risultante delle forze \( \displaystyle {R} \) (il punto d'applicazione \( \displaystyle {A} \) l'ho scelto a casaccio):



Il professore ci ha dato i seguenti dati:
\( \displaystyle {m}{\left({O}\right)}=-{82.8}{K}{N}\cdot{m} \)
\( \displaystyle {R}_{{x}}=+{12.2}{K}{N} \)
\( \displaystyle {R}_{{y}}=-{13.5}{K}{N} \)

e ci ha detto che l'equazione dell'asse centrale è la seguente:

\( \displaystyle -{82.8}=-{13.5}{x}-{12.2}{y} \)

che deriva da:

\( \displaystyle {m}{\left({O}\right)}={\left({A}-{O}\right)}\times{R}\Leftrightarrow \)
\( \displaystyle \Leftrightarrow\sum_{{i}}{\left({x}_{{i}}\cdot{v}_{{{y}{i}}}-{y}_{{i}}\cdot{v}_{{{x}{i}}}\right)}={x}\cdot{R}_{{y}}-{y}\cdot{R}_{{x}} \)

Ma questo cosa vuol dire? Vuol dire che l'asse centrale è il luogo dei punti nel quale la somma dei momenti delle forze è uguare al momento della risultante delle forze?
Grazie.

[ELWOOD]

L'asse centrale è il luogo dei punti in cui il momento risultante del sistema dei vettori applicati (rispetto all'asse centrale) risulta parallelo alla risultante.

[a.dematteis]

Questo vuol dire che, scomposto il momento risultante in due componenti, una parallela ad \( \displaystyle {R} \) e una normale, dobbiamo imporre che la componente normale sia uguale a zero. Come lo si impone analiticamente? Come si fa a trovare l'equazione dell'asse centrale dati i vettori applicati delle forze e il polo \( \displaystyle {O} \) (che costituirà l'origine degli assi cartesiani ai quali è riferita l'equazione dell'asse)?

[ELWOOD]

Guarda qua a pag. 19

http://www.ing.unitn.it/~siboni/dispenseMR1no/punti.pdf

[a.dematteis]

Nel file che mi ha inviato, a p. 20 in alto c'è la rappresentazione parametrica dell'asse centrale, che è:

\( \displaystyle {\left\lbrace{A}\in{{\mathbb{{{E}}}}}^{{3}}:{A}-{O}={\frac{{{1}}}{{{{\left|{\vec{{R}}}\right|}}^{{2}}}}}{\vec{{R}}}\times{\vec{{M}}}_{{O}}+\alpha{\vec{{R}}},\quad\alpha\in{\mathbb{{{R}}}}\right\rbrace} \)

Io l'ho riscritta in forma parametrica cartesiana, in cui i punti appartenenti all'asse centrale sono individuati da \( \displaystyle {x},{y},{z} \):

\( \displaystyle {\left[\matrix{{x}\\{y}\\{z}}\right]}=\frac{{1}}{{331.94787}}{\left[\matrix{{a}_{{2}}{b}_{{3}}-{a}_{{3}}{b}_{{2}}\\{a}_{{3}}{b}_{{1}}-{a}_{{1}}{b}_{{3}}\\{a}_{{1}}{b}_{{2}}-{a}_{{2}}{b}_{{1}}}\right]}+\alpha{\left[\matrix{{a}_{{1}}\\{a}_{{2}}\\{a}_{{3}}}\right]} \),

dove \( \displaystyle {\left[\matrix{{a}_{{1}}\\{a}_{{2}}\\{a}_{{3}}}\right]} \) è il vettore delle componenti di \( \displaystyle {R} \) e \( \displaystyle {\left[\matrix{{b}_{{1}}\\{b}_{{2}}\\{b}_{{3}}}\right]} \) è il vettore delle componenti di \( \displaystyle {m}{\left({O}\right)} \).

Facendo i calcoli, l'asse principale passa per \( \displaystyle {P}_{{1}} \) e \( \displaystyle {P}_{{2}} \):



Il corpo e i vettori \( \displaystyle {v}_{{1}},{v}_{{2}},{v}_{{3}} \) giacciono sul piano orizzontale, pertanto il momento deve essere necessariamente normale al piano. E, tuttavia, la definizione di asse centrale vuole che il momento sia parallelo ad \( \displaystyle {R} \). Come può il momento essere contemporaneamente normale al piano e parallelo ad \( \displaystyle {R} \)?

[ELWOOD]

Il momento calcolato rispetto all'asse centrale deve essere parallelo a R, che è diverso dal momento che tu hai calcolato in O

[a.dematteis]

Il momento calcolato rispetto all'asse centrale deve essere parallelo a R, che è diverso dal momento che tu hai calcolato in O

Mi sono espresso male. Intendevo dire che, dato un punto \( \displaystyle {Q} \) appartenente all'asse centrale, si ha che \( \displaystyle {m}{\left({Q}\right)} \) è normale al piano, e dunque non può essere parallelo a \( \displaystyle {R} \), che invece giace sul piano. Dov'è che sto sbagliando?

[ELWOOD]

non è vero, perchè l'asse centrale potrebbe essere contenuta nel piano z..

[a.dematteis]

Con "piano z" intende dire il piano che ha come normale l'asse z, cioè il piano orizzontale? In tal caso, sì, sto proprio dicendo che l'asse centrale appartenga al piano z.

Nel nostro esercizio, facendo i calcoli, risulta che l'asse centrale passa per \( \displaystyle {P}_{{1}} \) e \( \displaystyle {P}_{{2}} \). Richiamo per completezza il problema che ho esposto nei miei due post precedenti: l'asse centrale è il luogo dei punti \( \displaystyle {Q} \) tali che \( \displaystyle {m}{\left({Q}\right)} \) sia parallelo ad \( \displaystyle {R} \), però, nel nostro caso, per ogni punto \( \displaystyle {Q} \) appartenente all'asse centrale si ha che \( \displaystyle {m}{\left({Q}\right)} \) è normale al piano orizzontale, mentre \( \displaystyle {R} \) appartiene al piano orizzontale, pertanto non potranno mai essere paralleli.

[ELWOOD]

Si scusa, hai ragione. Il ragionamento è corretto. Il momento non ha nessuna componente parallela al piano orrizzontale, quindi l'asse centrale può essere preso qualunque, non capisco allora perchè è stato scelto quello li dal tuo prof