Scomposizione polinomio caratteristico

[thedarkhero]

Sia V spazio vettoriale e sia \( \displaystyle \phi:{V}\to{V} \) endomorfismo.
Sia W sottospazio di V tale che \( \displaystyle \phi{\left({W}\right)}\subseteq{W} \).
Sia allora \( \displaystyle \phi':\frac{{V}}{{W}}\to\frac{{V}}{{W}} \) definita come \( \displaystyle \phi'{\left({v}+{W}\right)}=\phi{\left({v}\right)}+{W} \).
Allora il polinomio caratteristico di \( \displaystyle \phi \) si scrive come \( \displaystyle {P}_{{\phi}}{\left({X}\right)}={P}_{{\phi_{{\mid}}{W}}}{\left({X}\right)}\cdot{P}_{{\phi'}}{\left({X}\right)} \).
Come si può dimostrare questo fatto?

[misanino]

Sia V spazio vettoriale e sia \( \displaystyle \phi:{V}\to{V} \) endomorfismo.
Sia W sottospazio di V tale che \( \displaystyle \phi{\left({W}\right)}\subseteq{W} \).
Sia allora \( \displaystyle \phi':\frac{{V}}{{W}}\to\frac{{V}}{{W}} \) definita come \( \displaystyle \phi'{\left({v}+{W}\right)}=\phi{\left({v}\right)}+{W} \).
Allora il polinomio caratteristico di \( \displaystyle \phi \) si scrive come \( \displaystyle {P}_{{\phi}}{\left({X}\right)}={P}_{{\phi_{{\mid}}{W}}}{\left({X}\right)}\cdot{P}_{{\phi'}}{\left({X}\right)} \).
Come si può dimostrare questo fatto?

Puoi prendere una base di W e completarla a base di V (tieni conto che se agisci così allora i vettori che devi aggiungere alla base di W per avere una base di V è proprio una base di V/W)

[thedarkhero]

Quello che mi hai scritto è chiaro. Ma come lo utilizzo ai fini della dimostrazione?

[misanino]

Lo utilizzi perchè se scrivi la matrice che rappresenta il tuo endomorfismo \( \displaystyle \varphi \) rispetto alla base composta che ti ho citato, ottieni una matrice a blocchi di questo tipo:
\( \displaystyle {\left(\matrix{{A}&{B}\\{0}&{C}}\right)} \)
dove \( \displaystyle {A},{B},{C} \) sono matrici e \( \displaystyle {A},{C} \) sono quadrate.
Ora il determinante della matrice a blocchi che ti ho scritto è uguale a \( \displaystyle {\det{{\left({A}\right)}}}\cdot{\det{{\left({C}\right)}}} \)