Scrivere l'equazione di un sottospazio

[Marshal87]

Ciao a tutti,
sto provando a fare qualche esercizio di geometria ma ho parecchi dubbi sulla mia soluzione.
L'esercizio è il seguente
Considerati i vettori
\( \displaystyle {A}_{{1}}={\left({1},{1},{1},{0},{0}\right)} \)
\( \displaystyle {A}_{{2}}={\left({0},{0},{0},{1},{1}\right)} \)
\( \displaystyle {A}_{{3}}={\left({0},{1},{0},{1},{0}\right)} \)
\( \displaystyle {A}_{{4}}={\left({1},{2},{1},{2},{1}\right)} \)
\( \displaystyle {A}_{{5}}={\left({1},{0},{1},{0},{1}\right)} \)

Calcolare la dimensione del sottospazio \( \displaystyle {W}={L}{\left({A}_{{1}},{A}_{{2}},{A}_{{3}},{A}_{{4}},{A}_{{5}}\right)} \) e scrivere l'equazioni di W
Cosa si intende per equazioni di W??

Io mi sono trovato che una base di W è composta dai vettori \( \displaystyle {A}_{{2}},{A}_{{3}},{A}_{{5}} \) e quindi \( \displaystyle \dim{W}={3} \) è corretto?

Adesso però non capisco che cosa siano le equazioni di W
Io pensavo di scrivere una cosa del genere:
\( \displaystyle {v}={\left({a},{b},{c},{d},{e}\right)}\in{W}\Leftrightarrow\exists{h}\in\mathbb{R}:{d}={h}+{b}\wedge{e}={h}+{a}\wedge{a}-{c}={0} \)
Solo che mi sembra davvero una cosa stana...
Mi potreste aiutare pls?

Grazie mille

[misanino]

Io direi che hai sbagliato i calcoli.
A me il rango di quella matrice esce 4 e non 3

[Marshal87]

Io direi che hai sbagliato i calcoli.
A me il rango di quella matrice esce 4 e non 3

Io però mi trovo che il vettore \( \displaystyle {A}_{{4}}={A}_{{5}}\cdot{2}{A}_{{3}} \) quindi essendo dipendente, lo elimino
stesso discorso vale per il vettore \( \displaystyle {A}_{{1}}={A}_{{5}}+{A}_{{3}}-{A}_{{2}} \)

Che ne pensi?

[misanino]

Io direi che hai sbagliato i calcoli.
A me il rango di quella matrice esce 4 e non 3

Io però mi trovo che il vettore \( \displaystyle {A}_{{4}}={A}_{{5}}\cdot{2}{A}_{{3}} \) quindi essendo dipendente, lo elimino
stesso discorso vale per il vettore \( \displaystyle {A}_{{1}}={A}_{{5}}+{A}_{{3}}-{A}_{{2}} \)

Che ne pensi?

Hai ragione tu.
Ho sbagliato a trascrivere la seconda riga e ho preso (0,0,1,1,19 invece di (0,0,0,1,1).

Come dici tu quindi abbiamo la base:
\( \displaystyle {B}={\left\lbrace{\left({0},{0},{0},{1},{1}\right)},{\left({0},{1},{0},{1},{0}\right)},{\left({1},{0},{1},{0},{1}\right)}\right\rbrace} \)
Perciò lo spazio generato da questi vettori é:
\( \displaystyle \alpha{\left({0},{0},{0},{1},{1}\right)}+\beta{\left({0},{1},{0},{1},{0}\right)}+\gamma{\left({1},{0},{1},{0},{1}\right)} \) con \( \displaystyle \alpha,\beta,\gamma\in\mathbb{R} \)
Ora dobbiamo passare dalle equazioni parametriche alle equazioni cartesiane.

Scriviamo il sistema associato (uso le incognite x,y,z,t,u)
\( \displaystyle {\left\lbrace\matrix{{t}+{u}={0}\\{y}+{t}={0}\\{x}+{z}+{u}={0}}\right.} \)

Risolvendo otteniamo
\( \displaystyle {u}=-{t} \)
\( \displaystyle {y}=-{t} \)
\( \displaystyle {x}={t}-{z} \)

Abbiamo quindi 2 parametri liberi (t,z)
Se assegnamo i valori \( \displaystyle {t}={1},{z}={0} \) e poi assegnamo \( \displaystyle {t}={0},{z}={1} \) otteniamo una base dello spazio delle soluzioni e tale base è:
\( \displaystyle {\left({1},-{1},{0},{1},-{1}\right)},{\left(-{1},{0},{1},{0},{0}\right)} \)

Perciò le equazioni cartesiane del tuo sottospazio W sono:
\( \displaystyle {\left\lbrace\matrix{{x}-{y}+{t}-{u}={0}\\-{x}+{z}={0}}\right.} \)

[Marshal87]

Ok grazie mille misanino adesso è molto più chiaro.
Scusami se non ti ho risposto subito ma sto perdendo la testa con altri esercizi.

in particolare, non riesco proprio a capire la soluzione di un esercizio.
Determinare la dimensione ed una base del sottospazio vettoriale
\( \displaystyle {W}={L}{\left({\left\lbrace{\left({3},{0},{1},{1}\right)},{\left({1},{1},{0},{1}\right)},{\left({2}{h},{h}+{2},{h},{h}+{1}\right)}\right\rbrace}\right)} \) al variare di \( \displaystyle {h}€\mathbb{R} \)

Io mi trovo che i tre vettori stessi formano una base, e quindi la dimensione di W è 3.

Come risposta dell'esercizio invece il libro dice che \( \displaystyle \dim{W}={3} \) per \( \displaystyle {h}\ne{1} \) altrimenti la dimensione è 2.
Come si capisce tutto questo?


Inoltre, in questo esercizio:
Determinare se è un sottospazio vettoriale ed eventualmente una base
\( \displaystyle {U}_{{5}}={\left\lbrace{A}={\left(\matrix{{a}&{b}\\{c}&{d}}\right)}\in{M}_{{2}}{\left(\mathbb{R}\right)}{\mid}{\det{{A}}}={0}\right\rbrace} \)

io ho pensato che lo spazio non ha basi, in quanto significherebbe avere come sistema di generatori due vettori \( \displaystyle {\left({a},{b}\right)},{\left({c},{d}\right)} \) tra loro dipendenti.
è corretta come risposta?

Grazie davvero tanto dell'aiuto.

[misanino]

Ok grazie mille misanino adesso è molto più chiaro.
Scusami se non ti ho risposto subito ma sto perdendo la testa con altri esercizi.

in particolare, non riesco proprio a capire la soluzione di un esercizio.
Determinare la dimensione ed una base del sottospazio vettoriale
\( \displaystyle {W}={L}{\left({\left\lbrace{\left({3},{0},{1},{1}\right)},{\left({1},{1},{0},{1}\right)},{\left({2}{h},{h}+{2},{h},{h}+{1}\right)}\right\rbrace}\right)} \) al variare di \( \displaystyle {h}€\mathbb{R} \)

Io mi trovo che i tre vettori stessi formano una base, e quindi la dimensione di W è 3.

Come risposta dell'esercizio invece il libro dice che \( \displaystyle \dim{W}={3} \) per \( \displaystyle {h}\ne{1} \) altrimenti la dimensione è 2.
Come si capisce tutto questo?


Inoltre, in questo esercizio:
Determinare se è un sottospazio vettoriale ed eventualmente una base
\( \displaystyle {U}_{{5}}={\left\lbrace{A}={\left(\matrix{{a}&{b}\\{c}&{d}}\right)}\in{M}_{{2}}{\left(\mathbb{R}\right)}{\mid}{\det{{A}}}={0}\right\rbrace} \)

io ho pensato che lo spazio non ha basi, in quanto significherebbe avere come sistema di generatori due vettori \( \displaystyle {\left({a},{b}\right)},{\left({c},{d}\right)} \) tra loro dipendenti.
è corretta come risposta?

Grazie davvero tanto dell'aiuto.

Per il primo esercizio credo proprio che la soluzione del libro sia sbagliata.
Devi invece spiegare un po' meglio la tua soluzione.
Così vedo se il procedimento è corretto.
Come hai fatto a dire che quella è una base?

Per il secondo esercizio invece attenta!
Prima devi determinare se quello spazio (che è uno spazio di matrici e non di vettori!) è uno spazio vettoriale.
Poi devi determinarne una base (nel caso che sia uno spazio vettoriale).
Ma la base sarà una base di matrici e non di vettori!

[Marshal87]

Per il primo esercizio credo proprio che la soluzione del libro sia sbagliata.
Devi invece spiegare un po' meglio la tua soluzione.
Così vedo se il procedimento è corretto.
Come hai fatto a dire che quella è una base?

Per il secondo esercizio invece attenta!
Prima devi determinare se quello spazio (che è uno spazio di matrici e non di vettori!) è uno spazio vettoriale.
Poi devi determinarne una base (nel caso che sia uno spazio vettoriale).
Ma la base sarà una base di matrici e non di vettori!

Riguardo al primo esercizio, ho verificato che i tre vettori tra di loro sono indipendenti. sapendo che sono indipendenti e sono un sistema di generatori, sono anche una base. sbaglio?

Per il secondo esercizio, sto trovando davvero grosse difficoltà con le matrici. Praticamente verifico che è uno spazio vettoriale, ma poi non riesco a recuperarne una base.
il libro invece dice che non si tratta proprio di uno spazio vettoriale. ma perchè? le operazioni di addizione e del prodotto sono interne all'insieme.
Sto considerando l'insieme formato da tutte le matrici di questo tipo: \( \displaystyle {\left(\matrix{{a}&{b}\\{h}{a}&{h}{b}}\right)} \) con \( \displaystyle {h}\in\mathbb{R} \) forse sbaglio questo?

[misanino]

Il secondo non è uno spazio vettoriale perchè se fai la somma di 2 matrici con determinante nullo puoi avere una matrice che non ha determinante nullo.
Ad esempio prendi:
\( \displaystyle {A}={\left(\matrix{{1}&{0}\\{0}&{0}}\right)} \) e \( \displaystyle {B}={\left(\matrix{{0}&{0}\\{0}&{1}}\right)} \)
Allora det(A)=0 e det(B)=0.
Invece \( \displaystyle {A}+{B}={\left(\matrix{{1}&{0}\\{0}&{1}}\right)} \) e quindi \( \displaystyle {\det{{\left({A}+{B}\right)}}}={1}\ne{0} \)

Per il primo se hai verificato che i 3 vettori sono linearmente indipendenti per ogni h, allora hai fatto bene

[Marshal87]

Il secondo non è uno spazio vettoriale perchè se fai la somma di 2 matrici con determinante nullo puoi avere una matrice che non ha determinante nullo.
Ad esempio prendi:
\( \displaystyle {A}={\left(\matrix{{1}&{0}\\{0}&{0}}\right)} \) e \( \displaystyle {B}={\left(\matrix{{0}&{0}\\{0}&{1}}\right)} \)
Allora det(A)=0 e det(B)=0.
Invece \( \displaystyle {A}+{B}={\left(\matrix{{1}&{0}\\{0}&{1}}\right)} \) e quindi \( \displaystyle {\det{{\left({A}+{B}\right)}}}={1}\ne{0} \)

Per il primo se hai verificato che i 3 vettori sono linearmente indipendenti per ogni h, allora hai fatto bene

Ok perfetto, grazie mille davvero !