Scuola Normale Superiore, 2008/09, problema 1

[Steven]

E' stato dato quest'anno al test d'ammissione.
Per chi vuole cimentarsi, è uno dei più semplici, insieme al numero 2, secondo me.

Considera i numeri interi relativi \( \displaystyle {p}_{{1}},{p}_{{2}},{p}_{{3}} \) e gli interi positivi \( \displaystyle {q}_{{1}},{q}_{{2}},{q}_{{3}} \) tali che
\( \displaystyle {\left|{p}_{{1}}{q}_{{2}}-{p}_{{2}}{q}_{{1}}\right|}={\left|{p}_{{1}}{q}_{{3}}-{p}_{{3}}{q}_{{1}}\right|}={\left|{p}_{{2}}{q}_{{3}}-{p}_{{3}}{q}_{{2}}\right|}={1} \)
Verificare che si ha
\( \displaystyle {p}_{{3}}={p}_{{2}}+{p}_{{1}} \) e \( \displaystyle {q}_{{3}}={q}_{{2}}+{q}_{{1}} \)
eventualmente dopo un riordinamento delle coppie \( \displaystyle {\left({p}_{{1}},{q}_{{1}}\right)} \), \( \displaystyle {\left({p}_{{2}},{q}_{{2}}\right)} \) e \( \displaystyle {\left({p}_{{3}},{q}_{{3}}\right)} \)

L'ultima frase è da leggersi così: non per forza deve essere \( \displaystyle {p}_{{3}}={p}_{{1}}+{p}_{{2}} \) ma anche potrebbe essere \( \displaystyle {p}_{{2}}={p}_{{1}}+{p}_{{3}} \)
Permutate i pedici, insomma.

Buon lavoro.

[maurer]

Beh, io procederei così... nascondo la mia risposta, così se qualcun altro ci volesse provare...

Testo nascosto, fai click qui per vederlo

Tolgo il valore assoluto, quindi ottengo \( \displaystyle {p}_{{1}}{q}_{{2}}-{p}_{{2}}{q}_{{1}}=\pm{1}\rightarrow{p}_{{1}}=\frac{{{p}_{{2}}{q}_{{1}}\pm{1}}}{{q}_{{2}}} \)
Analogamente ricavo \( \displaystyle {p}_{{2}}=\frac{{{p}_{{3}}{q}_{{2}}\pm{1}}}{{q}_{{3}}} \)
Quindi basta sostituire nell'equazione rimanente per ottenere \( \displaystyle \frac{{{p}_{{2}}{q}_{{1}}\pm{1}}}{{q}_{{2}}}\cdot{q}_{{3}}-{p}_{{3}}{q}_{{1}}=\pm{1}\rightarrow\frac{{{p}_{{2}}{q}_{{1}}{q}_{{3}}\pm{q}_{{3}}-{p}_{{3}}{q}_{{1}}{q}_{{2}}}}{{q}_{{2}}}=\pm{1} \)
\( \displaystyle \rightarrow\frac{{{p}_{{3}}{q}_{{2}}\pm{1}}}{{q}_{{3}}}\cdot{q}_{{1}}\cdot{q}_{{3}}\pm{q}_{{3}}-{p}_{{3}}{q}_{{1}}{q}_{{2}}=\pm{q}_{{2}}\rightarrow{p}_{{3}}{q}_{{1}}{q}_{{2}}\pm{q}_{{1}}\pm{q}_{{3}}-{p}_{{3}}{q}_{{1}}{q}_{{2}}=\pm{q}_{{2}}\rightarrow\pm{q}_{{2}}=\pm{q}_{{1}}\pm{q}_{{3}} \)
Da cui si evincono le due possibilità \( \displaystyle {q}_{{2}}={q}_{{1}}+{q}_{{3}} \) o \( \displaystyle -{q}_{{2}}=-{q}_{{1}}-{q}_{{3}}\rightarrow{q}_{{2}}={q}_{{1}}+{q}_{{3}} \).
Con lo stesso procedimento (e sostituendo \( \displaystyle {q}_{{2}} \) con \( \displaystyle {q}_{{1}}+{q}_{{3}} \)) arrivo anche a \( \displaystyle {p}_{{2}}={p}_{{1}}+{p}_{{3}} \)

Ti sembra corretto come ragionamento?

[Ene@]

Hw

[Steven]

Dì dove trovi difficoltà,altrimenti non possiamo aiutarti!

Ma che simpa che sei!
Peccato che io sono solito specificare se posto un quesito per proporlo, o se posto un quesito per avere una delucidazione.
Il contrario di te, che posti senza dire buongiorno o buonasera.

Sei stato già stato ammonito da un amministratore.

Aver aperto un topic con gli stessi presupposti che io ti contestavo, regolamento alla mano, o questo post di sopra, sono esempi di chiara provocazione.

Dunque se questo tuo comportamento non cessa, ti avviso che chiederò il tuo ban definitivo dal forum, come ho già fatto con altri utenti che perseveravano nei loro errori ignorando i richiami.

[Ene@]

Iw

[Ene@]

Lw

[handball_mania]

Allora,se vuoi fare il bambino fallo pure;ciò che non mi sta bene è che tu mi hai richiamato per una cosa,a tuo modo di dire e,regolamento alla mano,scorretta,ed ora proponi un intero esercizio.Tu mi hai contestao proprio questo;il proporre un esercizio senza fare vedere il minimo sforzo.Mah..mi sembra tanto evidente la cosa..

Non sta mica chiedendo aiuto! Ha proposto l'esercizio a noi... e non ha detto di risolverlo per lui. Sicuramente, per quant'è bravo, l'avrà già fatto....

[nox89]

Enea calmati qui Steven sta proponendo un esercizio agli utenti, non sta chiedendo chiarimenti su come risolverlo, è ovvio che quindi non dica dove ha trovato difficoltà; se lo propone lo fa perchè può essere di interesse per gli utenti, non perchè gli dicano come farlo.

[Ene@]

Mw

[Tipper]

Per i miei gusti ci sono fin troppi OT. Se a qualcuno non va bene l'operato di qualcun altro si rivolga agli amministratori in privato. Se alcuni utenti hanno suggerimenti nei confronti di altri usino pure i messaggi privati. Ma, per favore, basta OT, l'argomento di questa discussione è un altro.

EDIT: cancellato un successivo intervento di Ene@, perché mi era sembrato di essere stato chiaro, basta OT.