Se $\lim_{x \to 0} f(x) = -\infty$ allora $f$ non è convessa

[Paolo90]

Problema. Sia $f:(0,1) \to \RR$ una funzione tale che
\[
\lim_{x \to 0} f(x) = -\infty .
\]
Si dimostri che $f$ non è convessa.

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Mi sorprende un po' l'assenza di ipotesi sulla regolarità di $f$...
Ad ogni modo, ragioniamo per riduzione all'assurdo. Fissiamo $y \in (0,1)$ e usiamo la sola definizione di funzione convessa: per ogni $x \in (0,1)$ e per ogni $\lambda,\mu \ge 0$ con $\lambda+ \mu=1$ si deve avere
\[
f(\lambda x+\mu y) \le \lambda f(x) + \mu f(y)
\]
Mando $x \to 0$ e ho che $f(\mu y) \le -\infty$, il che è assurdo perché una quantità limitata (come è $f(\mu y)$) non può essere minore di $-\infty$.

Vi convince? Mi sembra troppo sbrigativo per essere giusto...
Grazie.

[Seneca]

Forse si può fare anche così:

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Se $f$ fosse convessa, fissato $x_0 \in (0,1)$ sia $g(x)$ una retta di appoggio al grafico di $f$ passante per $( x_0 , f(x_0))$, $f(x) >= g(x)$. Ma $- oo = lim_(x -> 0^+) f(x) >= lim_(x -> 0^+) g(x) = - oo$ sicché $g(x)$ non può essere una retta.

[Alarico_Folko]

Anche tu studi per la SISSA?

[Lemniscata]

Paolo90, dalla tua risoluzione sembra tu assuma che $f$ sia continua. Ma questo è implicato dalla convessità?

[Paolo90]

Buona e giusta osservazione, a cui non avevo pensato. Tuttavia, mi salvo in corner : sì, si dimostra che se una funzione è convessa su un aperto allora è ivi continua.

Grazie mille!

[Lemniscata]

Ah non sapevo... che ignorante che sono. Grazie della precisazione, ciao!

[Gaal Dornick]

Scrivo per bene la tua idea, mi sembra giusta.

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Sia $\epsilon>0$, piccolo (sarà mandato a $0$), $x \in (\epsilon, 1/2)$, dalla definizione di convessità si ha:
$f(x) \leq \lambda f(\epsilon) + (1-\lambda)f(1/2) $, con $\lambda$ tale che $x=\lambda \epsilon + (1-\lambda)1/2$, ossia
$\lambda= (1/2 - x)/(1/2-\epsilon)$.

Allora $-oo < f(x) \leq (1/2 - x)/(1/2-\epsilon) f(\epsilon) + (1-z-\epsilon)/(1/2-\epsilon)f(1/2) \to_{\epsilon\to 0} -oo$.
Assurdo.

Che ve ne pare?

[Rigel]

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Ovviamente, dando per scontata la continuità delle funzioni convesse sugli aperti, le dimostrazioni proposte sono corrette.
Volendo usare solo la definizione di convessità, si può osservare che, per \(x\in (0, 1/4)\), il grafico della funzione sta sopra (o meglio, non va sotto) al grafico della retta passante, ad esempio, per i punti \((1/4, f(1/4))\) e \((3/4, f(3/4))\).
PS: come nota a margine, aggiungo che non solo una funzione convessa in un aperto è continua, ma è anche localmente Lipschitziana.