Se potreste controllare il ragionamento..

[Mega-X]

Come gia dice il titolo del topic, vorrei che controllaste il ragionamento di questa mia prova nel dimostrare il teorema di weierstrass onde evitare che abbia scritto qualche profanità (non per altro il ragionamento non mi convince assai.. )

Tesi: sia \( \displaystyle {f{:}}{\left[{a},{b}\right]}\to\mathbb{R} \) ed \( \displaystyle {f} \) continua in \( \displaystyle {\left[{a},{b}\right]} \), la \( \displaystyle {f} \) in \( \displaystyle {\left[{a},{b}\right]} \) assumerà il max ed il min

Tesi equivalente: sia \( \displaystyle {f{:}}{\mathbb{{A}}}\subseteq\mathbb{R}\to{\mathbb{{B}}}\subseteq\mathbb{R} \) e sia \( \displaystyle {f} \) continua in \( \displaystyle {\mathbb{{A}}} \), se \( \displaystyle {\mathbb{{A}}} \) è un intervallo allora lo sarà anche \( \displaystyle {\mathbb{{B}}} \)

Dimostrazione: consideriamo la variazione della \( \displaystyle {x} \) messa in funzione della \( \displaystyle {y} \), ovvero \( \displaystyle {f{{\left({x}+\Delta{x}\right)}}}={f{{\left({x}\right)}}}\pm\Delta{y} \) (1) (ho messo il \( \displaystyle \pm \) perché non ho fatto alcuna supposizione se la funzione cresce o decresce in \( \displaystyle {\mathbb{{A}}} \)) allora il teorema è banalmente dimostrato per le condizioni di continuità in \( \displaystyle {\mathbb{{A}}} \) e per il teorema di bolzano, infatti ci sarà un \( \displaystyle {y}_{{0}}\in{\mathbb{{B}}}:{y}_{{0}}\ge{y}\in{\mathbb{{B}}} \) (e anche un \( \displaystyle {y}_{{1}}\in{\mathbb{{B}}}:{y}_{{1}}\le{y}\in{\mathbb{{B}}} \)) \( \displaystyle \boxempty \)

[elgiovo]

Con "Teorema di Bolzano" intendi questo? http://it.wikipedia.org/wiki/Teorema_di_Bolzano
Comunque il teorema di Weierstrass si può dimostrare semplicemente considerando che una funzione continua
mappa compatti connessi in compatti connessi.

[Mega-X]

Con "Teorema di Bolzano" intendi questo? http://it.wikipedia.org/wiki/Teorema_di_Bolzano

si è lui.. (io cmq mi riferisco ad una forma più generalizzata del tipo se \( \displaystyle {f{{\left({x}_{{0}}\right)}}}\lt{a} \) e \( \displaystyle {f{{\left({x}_{{1}}\right)}}}\gt{a} \) allora allora esisterà un \( \displaystyle {x}\in{\left[{x}_{{0}},{x}_{{1}}\right]}:{f{{\left({x}\right)}}}={a} \))

Comunque il teorema di Weierstrass si può dimostrare semplicemente considerando che una funzione continua
mappa compatti connessi in compatti connessi.

ok però non so cosa è un compatto, ne tanto mento un compatto connesso (ok posso cercare su wikipedia lo so.. )

[elgiovo]

Compatto = chiuso + limitato.
Un connesso è un insieme "non spezzato". In \( \displaystyle \mathbb{R} \) i connessi sono punti, segmenti, semirette
(tutti ovviamente presi da soli, ad esempio segmento + punto ad esso esterno non è un connesso)
e la retta reale stessa.

[Mega-X]

dunque il mio ragionamento è corretto?

cmq se avessi saputo la definizione di compatto la dimostrazione era più che banale.. (cmq non è difficile da intuire che se \( \displaystyle {f} \) è continua, e se essa opera in un intervallo, allora il risultato non potrà che essere un intervallo..)

[elgiovo]

Il tuo ragionamento mi risulta un pò zoppicante.
Non ho capito il nesso tra la variazione della funzione e ciò che viene dopo.
Inoltre, non mi sembra che tu abbia dimostrato l'esistenza di un valore finito \( \displaystyle {y}_{{0}} \)
tale che \( \displaystyle {y}_{{0}}\ge{f{{\left({x}\right)}}}\forall{x}\in{\left[{a},{b}\right]} \). Interpretando un pò, hai detto che \( \displaystyle \forall{y}\in{f{{\left(\right]}}}{a},{b}{\left[\right)} \)
esiste un intorno di \( \displaystyle {y} \) dove la funzione è definita, ma questo è conseguenza della
continuità di \( \displaystyle {f} \). Sbaglio?

[Mega-X]

sinceramente volevo dire, in modo formale e matematicamente rigoroso, che siccome la funzione nell'intervallo \( \displaystyle {\left[{a},{b}\right]} \) (o in un suo conveniente sottointervallo) cresce o decresce oppure è costante, ci sarà (o ci saranno nel caso di funzione costante in \( \displaystyle {\left[{a},{b}\right]} \)) certamente un punto in cui la \( \displaystyle {f{{\left({x}\right)}}} \) assume valore max rispetto agli altri valori, però non saprei come dirlo in modo formale e matematicamente rigoroso..