Secondo teorema d'omomorfismo di gruppi

[Lord K]

Leggendo le Note di Algebra di Martino mi è sovvenuto un simpatico lemma nel quale però sono convinto si trovi un errore, mi aiutate a trovarlo?

Ambiente: Sia \( \displaystyle \mathbb Z \times G \) il prodotto diretto tra il gruppo degli interi con la somma ed un gruppo finito \( \displaystyle G \) .

Osservazioni:

1) Tutti i sottogruppi normali di \( \displaystyle \mathbb Z \times G \) sono del tipo \( \displaystyle n \mathbb Z \times N \) , dove \( \displaystyle N \unlhd G \) ;
2) \( \displaystyle \mathbb Z \times \{e_G\} \unlhd \mathbb Z \times G \) (anche se mi basta \( \displaystyle \mathbb Z \times \{e_G\} \leq \mathbb Z \times G \) )

Conclusione:

Dal secondo teorema d'omomorfismo ho che:

\( \displaystyle \frac{\mathbb Z \times \{e_G\}}{(\mathbb Z \times \{e_G\}) \cap (n\mathbb Z \times N)} \simeq \frac{(\mathbb Z \times \{e_G\})(n\mathbb Z \times N)}{n\mathbb Z \times N} \)

si evince che:

\( \displaystyle \frac{(\mathbb Z \times \{e_G\})(n\mathbb Z \times N)}{n\mathbb Z \times N} \simeq \{e_{Z}\}\times\{e_g\} \)

ma anche:

\( \displaystyle \frac{\mathbb Z \times \{e_G\}}{(\mathbb Z \times \{e_G\}) \cap (n\mathbb Z \times N)} \simeq \frac{\mathbb Z \times \{e_G\}}{n\mathbb Z \times \{e_G\}} \neq \{e_{Z}\}\times\{e_g\} \)

P.S. Posso aver fatto qualche errore ma la cosa si è partorita rapidamente...

[Martino]

\( \displaystyle \frac{(\mathbb Z \times \{e_G\})(n\mathbb Z \times N)}{n\mathbb Z \times N} \simeq \{e_{Z}\}\times\{e_g\} \)

Attento qui: l'operazione in \( \displaystyle \mathbb{Z} \) e' la \( \displaystyle + \) e \( \displaystyle \mathbb{Z}+{n}\mathbb{Z}=\mathbb{Z} \).

[Lord K]

Ragionissima!!! Grazie