Semplice Funzione Goniometrica

[smemo89]

Svolgendo degli esercizi sulla trigonometria sto avendo dei problemi che però riguardano le operazioni con i radicali. Allora l'esercizio è: \( \displaystyle \frac{{{s}{e}{n}{45}°{\cos{{60}}}°-{\cos{{30}}}°{\cos{{45}}}°}}{{{\cos{{45}}}°{s}{e}{n}{30}°+{s}{e}{n}{45}°{s}{e}{n}{60}°}} \) io ho fatto: \( \displaystyle \frac{{\frac{\sqrt{{2}}}{{2}}\cdot\frac{{1}}{{2}}-\frac{\sqrt{{3}}}{{2}}\cdot\frac{\sqrt{{2}}}{{2}}}}{{\frac{\sqrt{{2}}}{{2}}\cdot\frac{{1}}{{2}}+\frac{\sqrt{{2}}}{{2}}\cdot\frac{\sqrt{{3}}}{{2}}}} \) e io non ricordo come si fanno queste operazioni. Sarei grato se qualcuno mi potrebbe illustrare i vari passaggi che porterebbero alla soluzione. Vi ringrazio in anticipo. Grazie & Ciao.

[sweet swallow]

allora per prima cosa svolgi i calcoli
\( \displaystyle \frac{{\frac{\sqrt{{2}}}{{2}}\cdot\frac{{1}}{{2}}-\frac{\sqrt{{3}}}{{2}}\cdot\frac{\sqrt{{2}}}{{2}}}}{{\frac{\sqrt{{2}}}{{2}}\cdot\frac{{1}}{{2}}+\frac{\sqrt{{2}}}{{2}}\cdot\frac{\sqrt{{3}}}{{2}}}} \)
da cui \( \displaystyle \frac{{\frac{\sqrt{{2}}}{{{4}}}-\frac{\sqrt{{6}}}{{{4}}}}}{{\frac{\sqrt{{2}}}{{{4}}}+\frac{\sqrt{{6}}}{{{4}}}}} \)
facendo il mcm ottieni
\( \displaystyle \frac{{\sqrt{{2}}-\sqrt{{6}}}}{{{4}}}\cdot\frac{{4}}{{\sqrt{{2}}+\sqrt{{6}}}} \)
basta semplificare i 4 e è finito

[smemo89]

Scusa ma alla fine io mi trovo \( \displaystyle \sqrt{{2}}-\sqrt{{6}}\cdot\frac{{1}}{{\sqrt{{2}}+\sqrt{{6}}}} \) mentre il risultato del libro è: \( \displaystyle \sqrt{{3}}-{2} \) . Mi potete aiutare a capire meglio? Grazie & Ciao.

[nicola de rosa]

Scusa ma alla fine io mi trovo \( \displaystyle \sqrt{{2}}-\sqrt{{6}}\cdot\frac{{1}}{{\sqrt{{2}}+\sqrt{{6}}}} \) mentre il risultato del libro è: \( \displaystyle \sqrt{{3}}-{2} \) . Mi potete aiutare a capire meglio? Grazie & Ciao.

razionalizza, moltiplicando numeratore e denominatore per \( \displaystyle \sqrt{{{6}}}-\sqrt{{{2}}} \) ottenendo:
\( \displaystyle \frac{{\sqrt{{2}}-\sqrt{{6}}}}{{\sqrt{{2}}+\sqrt{{6}}}}=\frac{{{\left(\sqrt{{2}}-\sqrt{{6}}\right)}\cdot{\left(\sqrt{{{6}}}-\sqrt{{{2}}}\right)}}}{{{6}-{2}}}=\frac{{-{{\left(\sqrt{{{6}}}-\sqrt{{{2}}}\right)}}^{{2}}}}{{4}}=-\frac{{{2}+{6}-{2}\sqrt{{{12}}}}}{{4}}=\frac{{{2}\cdot\sqrt{{{12}}}-{8}}}{{4}}=\frac{{{4}\sqrt{{{3}}}-{8}}}{{4}}=\sqrt{{{3}}}-{2} \)
poichè \( \displaystyle \sqrt{{{12}}}=\sqrt{{{{2}}^{{2}}\cdot{3}}}={2}\sqrt{{{3}}} \)

[smemo89]

Non ho capito perchè nel secondo passaggio al numeratore hai messo 6-2.

[nicola de rosa]

Non ho capito perchè nel secondo passaggio al numeratore hai messo 6-2.

\( \displaystyle {\left({a}-{b}\right)}{\left({a}+{b}\right)}={{a}}^{{2}}-{{b}}^{{2}} \) \( \displaystyle {a}=\sqrt{{{6}}},{b}=\sqrt{{{2}}} \)

[smemo89]

Scusami ma forse perchè non ho alcune conoscenze ma io non riesco a capire come sei arrivata a questa conclusione. Mi potresti spiegare? Scusami se approfitto come al solito della tua pazienza.

[nicola de rosa]

Scusami ma forse perchè non ho alcune conoscenze ma io non riesco a capire come sei arrivata a questa conclusione. Mi potresti spiegare? Scusami se approfitto come al solito della tua pazienza.

\( \displaystyle \frac{{\sqrt{{2}}-\sqrt{{6}}}}{{\sqrt{{2}}+\sqrt{{6}}}}=\frac{{{\left(\sqrt{{2}}-\sqrt{{6}}\right)}\cdot{\left(\sqrt{{{6}}}-\sqrt{{{2}}}\right)}}}{{{{\left(\sqrt{{{6}}}\right)}}^{{2}}-{{\left(\sqrt{{{2}}}\right)}}^{{2}}}}=\frac{{-{\left(\sqrt{{{6}}}-\sqrt{{{2}}}\right)}\cdot{\left(\sqrt{{{6}}}-\sqrt{{{2}}}\right)}}}{{{6}-{2}}}=-\frac{{{\left(\sqrt{{{6}}}-\sqrt{{{2}}}\right)}}^{{2}}}{{4}} \)
=\( \displaystyle -\frac{{{2}+{6}-{2}\sqrt{{{12}}}}}{{4}}=\frac{{{2}\cdot\sqrt{{{12}}}-{8}}}{{4}}=\frac{{{4}\sqrt{{{3}}}-{8}}}{{4}}=\sqrt{{{3}}}-{2} \)
poichè \( \displaystyle \sqrt{{{12}}}=\sqrt{{{{2}}^{{2}}\cdot{3}}}={2}\sqrt{{{3}}} \)

chiaro? dimmi cosa non ti è chiaro di tutti questi passaggi

[smemo89]

Ora tutto ok. Adesso ti voglio chiedere se in quest'altro passaggio di un altro esercizio ho fatto bene. Allora: \( \displaystyle \frac{{{2}-\sqrt{{3}}}}{{2}}\cdot{\left(\frac{{2}}{{{2}+\sqrt{{3}}}}\right)}+\sqrt{{3}} \) e semplificando mi è uscito fuori \( \displaystyle \sqrt{{1}}+\sqrt{{3}}=\sqrt{{4}} \) e mi trovo anche con il risultato del libro.

[nicola de rosa]

Ora tutto ok. Adesso ti voglio chiedere se in quest'altro passaggio di un altro esercizio ho fatto bene. Allora: \( \displaystyle \frac{{{2}-\sqrt{{3}}}}{{2}}\cdot{\left(\frac{{2}}{{{2}+\sqrt{{3}}}}\right)}+\sqrt{{3}} \) e semplificando mi è uscito fuori \( \displaystyle \sqrt{{1}}+\sqrt{{3}}=\sqrt{{4}} \) e mi trovo anche con il risultato del libro.

innanzitutti \( \displaystyle \sqrt{{{a}}}+\sqrt{{{b}}}\ne\sqrt{{{a}+{b}}} \), poi
semplificando ottieni:
\( \displaystyle \frac{{{2}-\sqrt{{3}}}}{{{\left({2}+\sqrt{{3}}\right)}}}+\sqrt{{3}} \). Ora applicando lo stesso procedimento di sopra a \( \displaystyle \frac{{{2}-\sqrt{{3}}}}{{{\left({2}+\sqrt{{3}}\right)}}} \) ottieni
\( \displaystyle \frac{{{2}-\sqrt{{3}}}}{{{\left({2}+\sqrt{{3}}\right)}}}={7}-{4}\sqrt{{{3}}} \), per cui
\( \displaystyle \frac{{{2}-\sqrt{{3}}}}{{2}}\cdot{\left(\frac{{2}}{{{2}+\sqrt{{3}}}}\right)}+\sqrt{{3}}={7}-{3}\sqrt{{{3}}} \)