[EX] Serie di potenze

[gugo82]

Esercizio:

Determinare il raggio di convergenza della serie di potenze \(\sum_{n\geq 1} a_n\ x^n\), ove:
\[
a_n:=\int_0^n \exp \left( \frac{t^2}{n}\right)\ \text{d}t\; .
\]

[Paolo90]

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La mia congettura è che il raggio sia \( \displaystyle {R}=\frac{{1}}{{e}} \).

Sia \( \displaystyle {a}_{{n}}\:={\int_{{0}}^{{n}}}{{e}}^{{\frac{{{t}}^{{2}}}{{n}}}}{\left.{d}{t}\right.} \). Voglio usare la formula di Cauchy-Hadamard per ricavarmi il (o meglio, l'inverso del) raggio di convergenza. Quindi devo calcolare \( \displaystyle \lim_{{{n}\to\infty}}{{\left|{a}_{{n}}\right|}}^{{\frac{{1}}{{n}}}} \).

Ora, una semplice sostituzione (\( \displaystyle {t}={n}{w} \)) mi permette di scrivere la successione degli \( \displaystyle {a}_{{n}} \) come
\[
a_n = n \int_0^1 e^{nw^2}dw
\]

Da qui, si ha che

\[
|a_n|^{1/n} = \sqrt[n]{n} \left( \int_0^1 e^{nw^2}dw \right)^{1/n}
\]

Il modulo si può tranquillamente omettere perchè la funzione integranda è positiva su \( \displaystyle {\left[{0},{1}\right]} \). Ebbene, il primo pezzo non dà problemi, è risaputo che va a 1 quando \( \displaystyle {n}\to+\infty \). Il problema è l'altro fattore, cioè capire che cosa fa
\[
\lim_{n \to +\infty} \left( \int_0^1 e^{nw^2}dw \right)^{1/n}
\]

Adesso, io qui dentro vedo una norma, o meglio vedo il limite della norma \( \displaystyle {p} \), per \( \displaystyle {p}\to\infty \) (la norma è quella che mettiamo di solito sugli spazi \( \displaystyle {{L}}^{{p}} \) per renderli di Banach, per intenderci).
Quindi direi che quel limite è la norma infinito della funzione continua \( \displaystyle {g{{\left({w}\right)}}}={{e}}^{{{{w}}^{{2}}}}\in{{L}}^{{\infty}}{\left[{0},{1}\right]} \) che è \( \displaystyle \max_{{{w}\in{\left[{0},{1}\right]}}}{g{{\left({w}\right)}}}={g{{\left({1}\right)}}}={e} \).

Quindi, \( \displaystyle \frac{{1}}{{R}}={1}\cdot{e}={e} \) e in definitiva il raggio è \( \displaystyle \frac{{1}}{{e}} \).

Mi sono un po' buttato, non è mia abitudine ma ho deciso di correre il rischio... Sono sicuro della prima parte, un po' meno della seconda. Mi scuso anticipatamente in caso di errori

[gugo82]

Bella!
Non ci avevo pensato ad usare la continuità della norma \(L^p\)...
[Però c'è un erroraccio di calcolo: chi è \(\max_{[0,1]} e^{w^2}\)??? ]

Avevo risolto come segue:

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Sostituendo:
\[
a_n:= \int_0^n e^{t^2/n}\ \text{d} t \stackrel{\tau=t^2/n}{=} \sqrt{n}\ \int_0^n \frac{e^\tau}{\sqrt{\tau}}\ \text{d}\tau\; ;
\]
quindi:
\[
\frac{a_{n+1}}{a_n} = \sqrt{\frac{n+1}{n}}\ \frac{\int_0^{n+1} \frac{e^\tau}{\sqrt{\tau}}\ \text{d}\tau }{\int_0^n \frac{e^\tau}{\sqrt{\tau}}\ \text{d} \tau}\; ,
\]
e chiaramente l'esistenza del \(\lim_n a_{n+1}/a_n\) dipende dall'esistenza del:
\[
\lim_{x\to \infty} \frac{\int_0^{x+1} \frac{e^\tau}{\sqrt{\tau}}\ \text{d}\tau }{\int_0^x \frac{e^\tau}{\sqrt{\tau}}\ \text{d} \tau}\; .
\]
Quest'ultimo limite si presenta in forma indeterminata \(\infty/\infty\); ma applicando il teorema di de l'Hôpital si trova:
\[
\begin{split}
\lim_{x\to \infty} \frac{\int_0^{x+1} \frac{e^\tau}{\sqrt{\tau}}\ \text{d}\tau }{\int_0^x \frac{e^\tau}{\sqrt{\tau}}\ \text{d} \tau} &\stackrel{H}{=} \lim_{x\to \infty} \frac{\frac{e^{x+1}}{\sqrt{x+1}}}{\frac{e^x}{\sqrt{x}}}\\
&= \lim_{x\to \infty} e\ \sqrt{\frac{x}{x+1}}\\
&= e\; ,
\end{split}
\]
cosicché \(1/R=\lim_n a_{n+1}/a_n =e\) ed \(R=1/e\).

[Paolo90]

Bella!
Non ci avevo pensato ad usare la continuità della norma \(L^p\)...

Sono davvero contento che ti sia piaciuto, Gugo.

[Però c'è un erroraccio di calcolo: chi è \(\max_{[0,1]} e^{w^2}\)??? ]

Che scemo che sono! Sorry, nella mia testa leggevo \( \displaystyle {{e}}^{{-{{x}}^{{2}}}} \), e quindi dicevo il massimo è in \( \displaystyle {0} \) e vale 1.
Ora edito, perchè è davvero un erroraccio

Una domanda di teoria: ho usato il fatto che \( \displaystyle \lim_{p\to \infty} \Vert f \Vert_p = \Vert f \Vert_{\infty} \) .
Questo quando vale? Che ipotesi devo aggiungere? Secondo me serve che lo spazio abbia misura finita (e qui va tutto bene, siamo sul compatto \( \displaystyle {\left[{0},{1}\right]} \)), solo che (lo confesso sinceramente) non ne ricordo la dimostrazione...

P.S. Molto bella e pulita la tua risoluzione: mi pare ci sia un errorino alla fine, una svista. Se usi il rapporto, il raggio non è \( \displaystyle {R}=\lim_{{{n}\to+\infty}}\frac{{a}_{{{n}}}}{{a}_{{{n}+{1}}}} \)?

[gugo82]

[Però c'è un erroraccio di calcolo: chi è \(\max_{[0,1]} e^{w^2}\)??? ]

Che scemo che sono! Sorry, nella mia testa leggevo \( \displaystyle {{e}}^{{-{{x}}^{{2}}}} \), e quindi dicevo il massimo è in \( \displaystyle {0} \) e vale 1.
Ora edito, perchè è davvero un erroraccio [...]

P.S. Molto bella e pulita la tua risoluzione: mi pare ci sia un errorino alla fine, una svista. Se usi il rapporto, il raggio non è \( \displaystyle {R}=\lim_{{{n}\to+\infty}}\frac{{a}_{{{n}}}}{{a}_{{{n}+{1}}}} \)?

Come vedi non sei l'unico a farne...

Una domanda di teoria: ho usato il fatto che \( \displaystyle \lim_{p\to \infty} \Vert f \Vert_p = \Vert f \Vert_{\infty} \) .
Questo quando vale? Che ipotesi devo aggiungere? Secondo me serve che lo spazio abbia misura finita (e qui va tutto bene, siamo sul compatto \( \displaystyle {\left[{0},{1}\right]} \)), solo che (lo confesso sinceramente) non ne ricordo la dimostrazione...

Vedi qui.

[Paolo90]

Molto bene, ti ringrazio per l'ottima referenza e per il bell'esercizio.
Grazie mille.

[Lorin]

Anche io facendo un pò di calcoli avevo pensato al fatto che il raggio potesse essere \( \displaystyle \frac{{1}}{{e}} \), ma non essendo sicuro del ragionamento che avevo fatto ho preferito non postare. In tutti i modi il dubbio me lo voglio togliere lo stesso...

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Applicando il criterio di Cauchy-Hadamard si arriva a studiare \( \displaystyle \lim_{{{n}\to+\infty}}{\sqrt[{{n}}]{{{a}_{{n}}}}} \), il mio dubbio era: posso eventualmente studiare \( \displaystyle {\sqrt[{{n}}]{{\lim_{{{n}\to+\infty}}{a}_{{n}}}}} \)? e per quanto riguarda il \( \displaystyle \lim_{{{n}\to+\infty}}{\left({a}_{{n}}\right)} \) eventualmente applicare il teorema di passaggio al limite sotto segno di integrale, considerando l'intervallo \( \displaystyle {\left[{0},{1}\right]} \) come nel ragionamento di Paolo?

Non so se ho fatto bene a nascondere il contenuto, nel caso lo rendo visibile a tutti...
Thanx

[gugo82]

No, Lorin.
Non ha proprio senso scrivere \(\lim_n \sqrt[n]{a_n} =\sqrt[n]{\lim_n a_n}\) (perché \(n\) è la variabile di limite).

[Lorin]

Eh ma infatti ne ero convinto anche io...in un attimo di confusione ero indeciso...ho fatto meglio a non postare allora