serie di taylor di una funzione composta

da **giosal** » 27/09/2007, 09:51

non riesco a fare la serie di taylor di questa funzione

$f(x) = (x + 2) log(1 + (x + 2)^2) :

io per ricavare la serie di taylor di una funzione,mi trovo la derivata n-sima della funzione centrata nella x richiesta e poi la inserisco nella formula della serie di taylor e finisco l'esercizio

fino a quando la funzione è semplice riesco vedendo lo sviluppo delle derivate quale è la derivata n-sima,ma in questo caso non riesco a trovarla perchè la derivata viene troppo lunga

come posso fare?

da **Apocalisse86** » 27/09/2007, 14:44

Io farei così, prego però tutti le menti superiori di controllare perché non sono per niente sicuro del procedimento...grazie:

nella tua $ \displaystyle {f{{\left({x}\right)}}}={\left({x}+{2}\right)}{\ln{{\left({1}+{{\left({x}+{2}\right)}}^{{2}}\right)}}} $ poni $ \displaystyle {\left({x}+{2}\right)}={t} $ ottenendo $ \displaystyle {t}{\ln{{\left({1}+{{t}}^{{2}}\right)}}} $.
Consideriamo ora solo il pezzo $ \displaystyle {\ln{{\left({1}+{{t}}^{{2}}\right)}}} $, per farla più facile scrivo un'altra posizione ossia pongo $ \displaystyle {{t}}^{{2}}={z} $ ottenendo $ \displaystyle {\ln{{\left({1}+{z}\right)}}} $ che so sviluppare perché è la serie logaritmica che è una serie notevole:
$ \displaystyle {\ln{{\left({1}+{z}\right)}}}={\sum_{{{n}={1}}}^{{+\infty}}}{{\left(-{1}\right)}}^{{{n}-{1}}}{\frac{{{{z}}^{{n}}}}{{{n}}}} $ ma nel nostro caso $ \displaystyle {z}={{t}}^{{2}} $ quindi:
$ \displaystyle {\ln{{\left({1}+{{t}}^{{2}}\right)}}}={\sum_{{{n}={1}}}^{{+\infty}}}{{\left(-{1}\right)}}^{{{n}-{1}}}{\frac{{{{t}}^{{{2}{n}}}}}{{{n}}}} $
Moltiplicando la serie appena scritta per $ \displaystyle {t} $ abbiamo:
$ \displaystyle {t}{\ln{{\left({1}+{{t}}^{{2}}\right)}}}={\sum_{{{n}={1}}}^{{+\infty}}}{{\left(-{1}\right)}}^{{{n}-{1}}}{\frac{{{{t}}^{{{2}{n}}}}}{{{n}}}}{\left({t}\right)}={\sum_{{{n}={1}}}^{{+\infty}}}{{\left(-{1}\right)}}^{{{n}-{1}}}{\frac{{{{t}}^{{{2}{n}+{1}}}}}{{{n}}}} $

Ricordando la posizione fatta all'inizio cioè che $ \displaystyle {t}={\left({x}+{2}\right)} $ sostituendo ottengo la sviluppo richiesto

$ \displaystyle {\left({x}+{2}\right)}{\ln{{\left({1}+{{\left({x}+{2}\right)}}^{{2}}\right)}}}={\sum_{{{n}={1}}}^{{+\infty}}}{{\left(-{1}\right)}}^{{{n}-{1}}}{\frac{{{{\left({x}+{2}\right)}}^{{{2}{n}+{1}}}}}{{{n}}}} $

ripeto...molto probabilmente ho commesso degli errori, non sono sicuro che questo metodo di esecuzione sia corretto...spero che qualcuno lo controlli...CIAO!! :-D