sistema con due equazioni e con valore assoluto

[ignorante]

Ciao matematici, vorrei capire quale procedimento occorre seguire per risolvere il seguente sistema con valore assoluto:

\(\displaystyle mx+m+2=0 \)
\(\displaystyle |x|=3|m+2| \)

Quanti sistemi devo fare?

Io ho pensato di fare 4 sistemi come segue, ma dubito che sia corretto:

1° sistema entrambi positivi:

{ \(\displaystyle mx+m+2=0 \)

{ \(\displaystyle x=3(m+2) \)

{ \(\displaystyle x>=0 \)

{ \(\displaystyle m+2>=0 \)

2° sistema entrambi negativi:

{ \(\displaystyle mx+m+2=0 \)

{ \(\displaystyle -x=3(-m-2) \)

{ \(\displaystyle x<0 \)

{ \(\displaystyle m<-2 \)

3° sistema il primo positivo l'altro negativo:

{ \(\displaystyle mx+m+2=0 \)

{ \(\displaystyle x=3(-m-2) \)

{ \(\displaystyle x>=0 \)

{ \(\displaystyle m<-2 \)

4° sistema il secondo positivo e l'altro negativo:

{ \(\displaystyle mx+m+2=0 \)

{ \(\displaystyle -x=3(m+2) \)

{ \(\displaystyle x<0 \)

{ \(\displaystyle m>=-2 \)

Voi cosa dite a me sembra un po lungo?

Grazie mille in anticipo!

[@melia]

In effetti come hai impostato non è sbagliato, ma si può fare di meglio. Quello che ti interessa è semplicemente sapere se gli argomenti dei moduli sono concordi o discordi, infatti se osservi nei primi due la seconda equazione non cambia e così succede nel secondo e nel terzo, che quindi possono essere uniti insieme.
\( \displaystyle {\left\lbrace\matrix{{m}{x}+{m}+{2}={0}\\{x}={3}{\left({m}+{2}\right)}\\{\left({x}\ge{0}\wedge{m}+{2}\ge{0}\right)}\vee{\left({x}\lt{0}\wedge{m}\lt-{2}\right)}}\right.} \)
e
\( \displaystyle {\left\lbrace\matrix{{m}{x}+{m}+{2}={0}\\{x}=-{3}{\left({m}+{2}\right)}\\{\left({x}\ge{0}\wedge{m}+{2}\lt{0}\right)}\vee{\left({x}\lt{0}\wedge{m}\ge-{2}\right)}}\right.} \)

Inoltre l'equazione contenente i moduli è di primo grado, si potrebbe anche elevare tutto al quadrato senza mettere condizioni, però il sistema, in questo modo, viene di quarto grado e non so se sia conveniente.

[ignorante]

Ok grazie mille!