sistema di disequazioni

[vitus]

ciao,
mi date una mano per questo sistema, grazie.

1) \( \displaystyle {{\arcsin}}^{{2}}{x}\gt{0} \)
2)\( \displaystyle {{\left({\cos{{1}}}\right)}}^{{x}}\gt\sqrt{{{\cos{{1}}}}} \)

La soluzione è \( \displaystyle \]-{1},\frac{{1}}{{2}}{\left[{\left({0}\right)}\right.} \), cioè "tranne zero"

Altro dubbio:
dato il sistema
\( \displaystyle {{3}}^{{x}}\lt{{3}}^{\pi} \)
\( \displaystyle {\sin{{x}}}\gt\frac{{1}}{{2}} \)
Dà come soluzioni \( \displaystyle \]\frac{\pi}{{6}}-{2}{n}\pi,{5}\frac{\pi}{{6}}-{2}{n}\pi{\left[\right.} \), con n naturale. Perchè c'è il \( \displaystyle -{2}{n}\pi \)?
grazie

[Tipper]

1) \( \displaystyle {{\arcsin}}^{{2}}{x}\gt{0} \)
2)\( \displaystyle {{\left({\cos{{1}}}\right)}}^{{x}}\gt\sqrt{{{\cos{{1}}}}} \)

La 1) è verificata per \( \displaystyle \text{arcsin}{\left({x}\right)}\ne{0} \), cioè per \( \displaystyle {x}\ne{k}\pi \). La seconda si risolve applicando il logaritmo in base \( \displaystyle {\cos{{\left({1}\right)}}} \) a entrambi membri. Dato che \( \displaystyle {\cos{{\left({1}\right)}}}\lt{1} \), allora si deve cambiare il verso alla disequazione, perché i logaritmo in base minore di \( \displaystyle {1} \) è funzione monotona decrescente, e si ottiene

\( \displaystyle {x}\lt{\log}_{{{\cos{{\left({1}\right)}}}}}{\left({{\cos}}^{{{\frac{{{1}}}{{{2}}}}}}{\left({1}\right)}\right)} \), cioè

\( \displaystyle {x}\lt{\frac{{{1}}}{{{2}}}} \)

L'arcoseno però ha senso solo se \( \displaystyle -{1}\le{x}\le{1} \), mettendo a sistema tutte queste condizioni si ottiene

\( \displaystyle -{1}\le{x}\lt{\frac{{{1}}}{{{2}}}} \) con \( \displaystyle {x}\ne{0} \)

[Tipper]

\( \displaystyle {{3}}^{{x}}\lt{{3}}^{\pi} \)
\( \displaystyle {\sin{{x}}}\gt\frac{{1}}{{2}} \)

Dalla prima \( \displaystyle {x}\lt\pi \), e mi sembra chiaro perché. Dalla seconda \( \displaystyle {\frac{{\pi}}{{{6}}}}+{2}{k}\pi\lt{x}\lt{\frac{{{5}}}{{{6}}}}\pi+{2}{k}\pi \), con \( \displaystyle {k} \) intero. Ma dato che c'è la condizione \( \displaystyle {x}\lt\pi \) vanno bene solo i \( \displaystyle {k} \) negativi, quindi tanto vale metterci un segno meno, e prendere solo i naturali (fra i quali c'è anche zero).

[vitus]

grazie tipper,
commetto sempre l'errore di non considerare la monotonia decrescente della f(x).
prima o poi non sbaglierò.
grazie