sistema di equazioni irrazionali dai Giochi d'autunno 2009

[tellurio]

la figlia tredicenne(!) di un mio amico mi ha sottoposto
questo sistema di equazioni irrazionali tratto da una
serie di quiz dei Giochi d'autunno 2009.
Né io né i suoi genitori siamo riusciti a risolverlo
ed ora chiedo aiuto a questo forum.

Le 3 equazioni sono:

\( \displaystyle {\left\lbrace\matrix{{x}={y}+{\sqrt[{{3}}]{{{z}}}}\\{y}={z}+{14}+{\sqrt[{{3}}]{{{x}}}}\\{z}={\sqrt[{{3}}]{{{x}}}}+\sqrt{{{y}}}}\right.} \)

Ringrazio fiducioso

p.s.
la bimba terribile non ha la soluzione

[Gi8]

Scritto così, è difficile trovare una soluzione.
Mi sono andato a rileggere il testo dell'esercizio, che recita:

L’età di Nando è uguale a quella di Debora aumentata della radice cubica dell’età di Jacob.
Quella di Debora è uguale all’età di Jacob aumentata di 14 e della radice cubica dell’età di Nando.
Quella di Jacob è uguale alla radice cubica dell’età di Nando aumentata della radice quadrata dell’età di Debora.
Quanti anni ha Nando?

Il testo dà importanti informazioni aggiuntive.
\( \displaystyle {x},{y},{z} \) rappresentano delle età, pertanto sono tutti e tre numeri interi positivi ( o al limite uguali a \( \displaystyle {0} \)).

Detto ciò, possiamo esaminare il problema con un altro occhio:
\( \displaystyle {\left\lbrace\matrix{{x}={y}+{\sqrt[{{3}}]{{{z}}}}\\{y}={z}+{14}+{\sqrt[{{3}}]{{{x}}}}\\{z}={\sqrt[{{3}}]{{{x}}}}+\sqrt{{{y}}}}\right.} \)

Dalla prima equazione deduciamo che \( \displaystyle {x}\ge{y} \) e dalla seconda che \( \displaystyle {y}\gt{z} \). Pertanto \( \displaystyle {0}\le{z}\lt{y}\le{x} \)
Inoltre \( \displaystyle {z} \) deve essere un cubo perfetto. Infatti dalla prima equazione si ha \( \displaystyle {\sqrt[{3}]{{z}}}={x}-{y}\in\mathbb{N} \).
Anche \( \displaystyle {x} \) deve essere un cubo perfetto, mentre \( \displaystyle {y} \) deve essere un quadrato perfetto.


Andiamo per tentativi su \( \displaystyle {z} \) (che deve essere un cubo perfetto):
1) \( \displaystyle {z}={0} \): \( \displaystyle {\left\lbrace\matrix{{x}={y}\\{y}={14}+{\sqrt[{3}]{{y}}}\\{0}={\sqrt[{3}]{{x}}}+\sqrt{{y}}}\right.} \)
che non ha soluzioni intere positive (l'utima equazione è impossibile se \( \displaystyle {x},{y}\gt{0} \))
\( \displaystyle {z}={0} \) non va bene


2) \( \displaystyle {z}={1} \): \( \displaystyle {\left\lbrace\matrix{{x}={y}+{1}\\{y}={15}+{\sqrt[{3}]{{x}}}\\{1}={\sqrt[{3}]{{x}}}+\sqrt{{y}}}\right.} \)
Dalla prima e terza equazione discende che \( \displaystyle {x}={1} \), \( \displaystyle {y}={0} \), che però non verifica la seconda.
Nemmeno \( \displaystyle {z}={1} \) va bene, dunque.

3) \( \displaystyle {z}={8} \): \( \displaystyle {\left\lbrace\matrix{{x}={y}+{2}\\{y}={22}+{\sqrt[{3}]{{x}}}\\{2}={\sqrt[{3}]{{x}}}+\sqrt{{y}}}\right.} \)
Facendo opportune valutazioni, provando anche un po' per tentativi,
si ottiene \( \displaystyle {\left\lbrace\matrix{{x}={27}\\{y}={25}}\right.} \)

Ecco la soluzione: \( \displaystyle {\left\lbrace\matrix{{x}={27}\\{y}={25}\\{z}={8}}\right.} \)

[tellurio]

conclusione:
ho cercato l'approccio "di forza" ed ho sbattuto il muso.
Occorreva usare l'astuzia

grazie