Sistema letterale

[giannirecanati]

Risolvere nel modo più veloce:
\(\displaystyle \begin{cases} x(a-1)(ax-x-2ay-2y)=(2a+ay+y)(2a-ay-y) \\ a(x-y+4)=x+y \end{cases} \)

[vittorino70]

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Scrivo il sistema così:
\(\displaystyle \begin{cases}x(a-1)\cdot [x(a-1)-2y(a+1)]=4a^2-y^2(a+1)^2\\x(a-1)-y(a+1)=-4a\end{cases}\)
Ovvero:
\(\displaystyle \begin{cases}(a-1)^2x^2-2xy(a-1)(a+1)+(a+1)^2y^2=4a^2\\(a-1)x-(a+1)y=-4a\end{cases}\)
Ed infine :
\(\displaystyle \begin{cases}[(a-1)x-(a+1)y]^2=4a^2\\(a-1)x-(a+1)y=-4a\end{cases}\)
A questo punto, con una estrazione di radice quadrata dalla prima equazione, si potrebbe spezzare il sistema in due sistemi di primo grado da discutere al variare del parametro a .
Più semplicemente si può invece osservare che \(\displaystyle 4a^2\) non è certo il quadrato di \(\displaystyle -4a\), a meno
che non sia \(\displaystyle a=0 \). Pertanto si conclude col dire che :
il sistema non ha soluzioni per \(\displaystyle a\neq 0\) mentre per \(\displaystyle a=0\) esso si riduce al sistema
\(\displaystyle \begin{cases}(x+y)^2=0\\x+y=0\end{cases}\) ed ammette quindi infinite soluzioni del tipo \(\displaystyle (x=k,y=-k) , k \in \mathbb{R} \)
S E & O

[giannirecanati]

Benissimo!