Sistemi Congruenze

[Lordofnazgul]

Qualche precisazione doverosa.

1. il modo di procedere che ti ho fatto vedere è una procedura standard (e costituisce anche una dimostrazione - costruttiva- del CRT). La sostanza del ragionamento è: prendi Bezout con i tuoi moduli e moltiplica ambo i membri per la differenza dei resti; quella che hai ottenuto è ancora un'identità. Il trucco sta nello spostare "di qui e di là" i termini in modo da ottenere quello che ti serve: nel tuo caso, avevi bisogno di un numero che si potesse scrivere come \( \displaystyle {8}+{9}{k} \) e contemporaneamente come \( \displaystyle {2}+{4}{k} \). E l'abbiamo trovato.

2. Ricordo che quanto fatto è applicabile solo se moduli sono coprimi; se avessi avuto \( \displaystyle \text{mod}{4} \) e \( \displaystyle \text{mod}{2} \) andava a farsi benedire tutto.

3. Se hai un sistema con tre o più equazioni ne risolvi due alla volta, per ridurti a un sistema più piccolo.

Ok?

ok ci sono grazie mille! ho aggiunto questo metodo ai miei appunti, sei stato gentilissimo eheh!
ti rubo ancora un attimo:

io ho provato a risolvere questo sistema di congruenze:

\( \displaystyle {x}\equiv{36}{\left(\text{mod}{99}\right)} \)
e \( \displaystyle {x}\equiv-{36}{\left(\text{mod}{171}\right)} \)
in quest'altro modo visto che 99 e 171 non sono coprimi:

\( \displaystyle {36}+{k}{99}=-{36}+{h}{171} \)

\( \displaystyle {72}={h}{171}-{k}{99} \)

così h = k = 1 e quindi avrei \( \displaystyle {x}={36}+{99}={135} \) come soluzione particolare.
il procedimento secondo te è corretto? lo posso estendere come soluzione generalizzata del sistema? se sì, come?:p
scusa ancora per il disturbo..
ultimissima cosa: questo metodo se corretto, può essere applicato anche a un sistema di 3 o più congruenze?? grazie mille!

[Paolo90]

Sì, diciamo che nel caso di no coprimalità le cose si fanno più delicate.
Ad occhio direi che va bene.

Puoi giungere come a quella soluzione intersecando gli insiemi delle soluzioni della prima e della seconda equazione. In altri termini, la prima equazione ha come insieme delle soluzioni \( \displaystyle \sigma_{{1}}={\left\lbrace{z}\in\mathbb{Z}\ \text{ tali che }\ {z}={99}{k}+{36},\ \text{ }\ {k}\in\mathbb{Z}\right\rbrace}={\left\lbrace\ldots-{63},{36},{135}\ldots\right\rbrace} \); la seconda \( \displaystyle \sigma_{{2}}={\left\lbrace{z}\in\mathbb{Z}\ \text{ tali che }\ {z}={171}{h}-{36},\ \text{ }\ {h}\in\mathbb{Z}\right\rbrace}={\left\lbrace\ldots-{36},{135}\ldots\right\rbrace} \).

Vedi subito che 135 sta nell'intersezione, quindi è soluzione comune. Se ne becchi una, le becchi tutte aggiungendoci multipli del mcm dei moduli: la soluzione generale del tuo sistemino è quindi \( \displaystyle {135}+{k}\cdot\text{m.c.m.}{\left({99},{171}\right)} \) al variare di \( \displaystyle {k} \) in \( \displaystyle \mathbb{Z} \).

Anche qui tutto ok? Capito? Non ti far problemi, mi raccomando

[Lordofnazgul]

Sì, diciamo che nel caso di no coprimalità le cose si fanno più delicate.
Ad occhio direi che va bene.

Puoi giungere come a quella soluzione intersecando gli insiemi delle soluzioni della prima e della seconda equazione. In altri termini, la prima equazione ha come insieme delle soluzioni \( \displaystyle \sigma_{{1}}={\left\lbrace{z}\in\mathbb{Z}\ \text{ tali che }\ {z}={99}{k}+{36},\ \text{ }\ {k}\in\mathbb{Z}\right\rbrace}={\left\lbrace\ldots-{63},{36},{135}\ldots\right\rbrace} \); la seconda \( \displaystyle \sigma_{{2}}={\left\lbrace{z}\in\mathbb{Z}\ \text{ tali che }\ {z}={171}{h}-{36},\ \text{ }\ {h}\in\mathbb{Z}\right\rbrace}={\left\lbrace\ldots-{36},{135}\ldots\right\rbrace} \).

Vedi subito che 135 sta nell'intersezione, quindi è soluzione comune. Se ne becchi una, le becchi tutte aggiungendoci multipli del mcm dei moduli: la soluzione generale del tuo sistemino è quindi \( \displaystyle {135}+{k}\cdot\text{m.c.m.}{\left({99},{171}\right)} \) al variare di \( \displaystyle {k} \) in \( \displaystyle \mathbb{Z} \).

Anche qui tutto ok? Capito? Non ti far problemi, mi raccomando

ok, direi decisamente che ho capito! grazie mille sei stato gentilissimo! sai, l'esame di matematica discreta incombe e per lo meno questi esercizi base volevo essere in grado di farli tranquillamente (sono uno studente del corso di Scienze e tecnologie dell'informazione ma non pensavo che in informatica ci fosse così tanta matematica eheh)...grazie mille ancora! se dovessi avere qualche problema al massimo inserisco un altro post, ma direi decisamente che mi hai schiarito le idee! grazie mille ancora!

[Paolo90]

Figurati, è un piacere. In bocca al lupo per i tuoi esami, anche io questa settimana ho algebra I, speriamo bene.