sistemi di congruenze lineari

[sely]

ciao a tutti!
Ho un problemino con questo semplice esercizio mai risolto in classe:

Si risolva il seguente sistema di congruenze lineari, riducendolo alla risoluzione di un equazione diofantea:
3x = 4 (mod5)
{ (dove = indica la congruenza)
2x = 3 (mod7)

Potreste darmi una traccia di soluzione da seguire?
La mia idea per ottenere l'equazione diofantea è stata quella di risovere la prima congruenza (-> x = 4+5k) per poi sostituire il risultato all'incognita x della seconda equazione (-> 4(4+5k) = 3 (7)) e trasformare quest'ultima in un eq diofantea in k,y (-> 20k-7y =-13). speravo così che le soluzioni di quest'ultima (-> k= 13+7h, y = 39+20h) interpretate come x=y+k mi dessero la soluzione del sistema...ma non è così...
Chissà che orrori che ho combinato!

Ringrazio in anticipo per l'aiuto!

[Gatto89]

3x = 4 (mod5)

La mia idea per ottenere l'equazione diofantea è stata quella di risovere la prima congruenza (-> x = 4+5k)

Ringrazio in anticipo per l'aiuto!

La tua equazione di partenza non è \( \displaystyle {x}\equiv{4}{\left(\text{mod}{5}\right)} \) ma \( \displaystyle {3}{x}\equiv{4}{\left(\text{mod}{5}\right)} \), per cui la tua soluzione non sarà \( \displaystyle {x}\equiv{4}{\left(\text{mod}{5}\right)} \) ma (a occhio) \( \displaystyle {x}\equiv{3}{\left(\text{mod}{5}\right)} \) ; prova ad andare avanti in modo simile in quella dopo (sostituendo i nuovi valori che ti vengono) e ricordando questa osservazione...

[sely]

Perchè noto gli errori solamente dopo aver dato l'invio?!?
Hai ragione, ma ho sbagliato a copiare il testo! Ecco quello giusto:

\( \displaystyle {\left\lbrace\matrix{{3}{x}\equiv{2}{\left({5}\right)}\\{4}{x}\equiv{3}{\left({7}\right)}}\right.} \)

e quindi la soluzione x = 4+5k dovrebbe essere giusta per la prima equazione! il problema però rimane nell'intero esercizio...

Scusate la svista!

[gugo82]

Scusa sely, ma non potresti risolvere separatamente ogni equazione e poi fare l'intersezione degli insiemi delle soluzioni?

Per la soluzione basta tenere presente che \( \displaystyle {3} \) [risp. \( \displaystyle {4} \)] è invertibile modulo \( \displaystyle {5} \) [risp. modulo \( \displaystyle {7} \)] e sporcarsi un po' le mani coi conti... (Almeno questo è quello che ho fatto io che, non essendo algebrista, non conosco metodi generali per la soluzione di questi problemini.)

[Gatto89]

Ok, riprendiamo ora la tua idea: sostituendo \( \displaystyle {x}={4}+{5}{k} \) nella seconda equazione, hai che:

\( \displaystyle {16}+{20}{k}\equiv{3}{\left(\text{mod}{7}\right)} \) o, equivalentemente, che \( \displaystyle {6}{k}\equiv{1}{\left(\text{mod}{7}\right)} \) da cui la soluzione dovrebbe essere immediata,
ovvero \( \displaystyle {k}\equiv{6}{\left(\text{mod}{7}\right)} \), \( \displaystyle \rightarrow{k}={6}+{7}{y} \).
A questo punto sostituisci questo valore in \( \displaystyle {x}={4}+{5}{k} \) e dovresti trovare la tua soluzione.

[gugo82]

Io me l'ero sbrigata così: visto che \( \displaystyle {{\left({4}\right)}}^{{-{1}}}\equiv_{{7}}{2}\equiv_{{5}}{{\left({3}\right)}}^{{-{1}}} \), troviamo:

\( \displaystyle {\left\lbrace\matrix{{4}{x}\equiv_{{7}}{3}\\{3}{x}\equiv_{{5}}{2}}\right.}\Rightarrow{\left\lbrace\matrix{{x}\equiv_{{7}}{6}\equiv_{{7}}-{1}\\{x}\equiv_{{5}}{4}\equiv_{{5}}-{1}}\right.}\Rightarrow{\left\lbrace\matrix{{x}=-{1}+{7}{k}&\text{& con }\ {k}\in\mathbb{Z}\\{x}=-{1}+{5}{h}&\text{& con }\ {h}\in\mathbb{Z}}\right.} \)

affinché \( \displaystyle -{1}+{7}{k}=-{1}+{5}{h} \) occorre e basta che \( \displaystyle {k} \) sia multiplo di \( \displaystyle {5} \) ed \( \displaystyle {h} \) sia multiplo di \( \displaystyle {7} \) (giacché \( \displaystyle {5} \) e \( \displaystyle {7} \) sono coprimi), quindi le soluzioni del tuo sistema sono tutti e soli i numeri del tipo:

\( \displaystyle {x}=-{1}+{35}{n},\ \text{ con }\ {n}\in\mathbb{Z} \).

[sely]

grazie mille ad entrambi! problema risolto! e il confronto mi aiuta sempre a prendere dimestichezza con l'argomento!
Saluti!