SNS 1973 - Confronto fra numeri (Conferma soluzione)

[elios]

"Determinare nel modo più elementare possibile (e senza usare la tavola dei logaritmi) quale dei due numeri: \( \displaystyle {{120}}^{{{100}}} \), \( \displaystyle {{100}}^{{{120}}} \) sia maggiore dell'altro"

La mia soluzione è:
\( \displaystyle {{120}}^{{{100}}}={{2}}^{{{200}}}\cdot{{3}}^{{{100}}}\cdot{{10}}^{{{100}}} \)
\( \displaystyle {{100}}^{{{120}}}={{10}}^{{{140}}}\cdot{{10}}^{{{100}}} \)
Faccio il rapporto fra le due, e opero in modo da capire se questo rapporto sia maggiore o minore di uno:
\( \displaystyle \frac{{{{100}}^{{{120}}}}}{{{{120}}^{{{100}}}}}=\frac{{{{10}}^{{{140}}}\cdot{{10}}^{{{100}}}}}{{{{2}}^{{{200}}}\cdot{{3}}^{{{100}}}\cdot{{10}}^{{{100}}}}}=\frac{{{{5}}^{{{140}}}\cdot{{2}}^{{{140}}}}}{{{{2}}^{{{200}}}\cdot{{3}}^{{{100}}}}}=\frac{{{5}}^{{{140}}}}{{{{2}}^{{{60}}}\cdot{{3}}^{{{100}}}}} \)
Calcolo la radice decima di questo prodotto (la radice non modifica l'essere maggiore o minore di uno del rapporto):
\( \displaystyle \frac{{{5}}^{{{14}}}}{{{{2}}^{{6}}\cdot{{3}}^{{{10}}}}}=\frac{{{5}}^{{4}}}{{{{2}}^{{6}}}}\cdot\frac{{{5}}^{{{10}}}}{{{{3}}^{{{10}}}}} \)
\( \displaystyle \frac{{{5}}^{{{10}}}}{{{{3}}^{{{10}}}}} \) è sicuramente maggiore di uno, poiché \( \displaystyle {{5}}^{{{10}}}\gt{{3}}^{{{10}}} \).
Per quanto riguarda l'altro rapporto, \( \displaystyle {{5}}^{{4}}={625} \) e \( \displaystyle {{2}}^{{6}}={64} \), cioè \( \displaystyle {{5}}^{{4}}\gt{{2}}^{{6}} \).
Conseguentemente \( \displaystyle \frac{{{5}}^{{4}}}{{{{2}}^{{6}}}}\cdot\frac{{{5}}^{{{10}}}}{{{{3}}^{{{10}}}}}\gt{1} \), quindi \( \displaystyle {{100}}^{{{120}}}\gt{{120}}^{{{100}}} \)

E' questo il modo "più elementare possibile"?
Grazie mille.

[giammaria]

Secondo me sì, a parte il fatto che risparmiavi qualche passaggio scomponendo subito le basi in fattori primi.

[blackbishop13]

Secondo me si fa molto più veloce così:

\( \displaystyle {{120}}^{{100}}\ge{{100}}^{{120}} \) ; \( \displaystyle {\sqrt[{{20}}]{{{{120}}^{{100}}}}}\ge{\sqrt[{{20}}]{{{{120}}^{{100}}}}} \);
\( \displaystyle {{120}}^{{5}}\ge{{100}}^{{6}} \); \( \displaystyle {{120}}^{{5}}\ge{{100}}^{{5}}\cdot{100} \) ; \( \displaystyle {{\left(\frac{{120}}{{100}}\right)}}^{{5}}\ge{100} \)
\( \displaystyle {1},{{2}}^{{5}}\ge{100} \) ; \( \displaystyle {1},{44}\cdot{1},{44}\cdot{1},{2}\ge{10}\cdot{5}\cdot{2} \) falso.

quindi \( \displaystyle {{100}}^{{120}}\gt{{120}}^{{100}} \)

cosa ne dite?

[giammaria]

Ottimo; per dire se è più veloce bisognerebbe cronometrare. Suggerisco un miglioramento: \( \displaystyle {1},{{2}}^{{5}}\lt{{2}}^{{5}}={32}\lt{100} \).

[elios]

Grazie della risposta