SNS 2006/2007 [biologi e chimici]

[Steven]

Posto questo problema articolato in due punti, di cui ho abbozzato una mezza risoluzione, per vedere come lo risolvereste voi.

i)Sono dati tre valori \( \displaystyle {a},{b},{c}\in\mathbb{Z} \) tali che
\( \displaystyle {a}+\sqrt{{2}}{b}+\sqrt{{3}}{c}={0} \)
Dimostrare che deve per forza essere \( \displaystyle {a}={b}={c}={0} \)
(In caso, possiamo assumere che la radice quadrata di 2, di 3 e di 6 è irrazionale, senza doverlo dimostrare).

ii)Determinare almeno una terna di interi relativi non tutti nulli tali che
\( \displaystyle {a}+\sqrt{{2}}{b}+\sqrt{{8}}{c}={0} \)
Dimostrare che ogni altra terna \( \displaystyle {a}' \), \( \displaystyle {b}' \), \( \displaystyle {c}' \) con la stessa proprietà è un multiplo razionale della precedente.

Non sono troppo difficili, se la mia idea è stata giusta.
Buon lavoro.

[Gabriel]

i) Se \( \displaystyle {b}{c}\ne{0} \), allora \( \displaystyle {2}{b}{c}\sqrt{{{6}}}={{a}}^{{2}}-{\left({2}{{b}}^{{2}}+{3}{{c}}^{{2}}\right)} \), i.e. \( \displaystyle \sqrt{{{6}}} \) è razionale. Assurdo! Dunque \( \displaystyle {b}={0} \) oppure \( \displaystyle {c}={0} \). Nel primo caso, \( \displaystyle {a}+\sqrt{{{3}}}{c}={0} \), e quindi a forza \( \displaystyle {a}={c}={0} \), salvo che negare l'irrazionalità di \( \displaystyle \sqrt{{{3}}} \). Idem con patate, quando \( \displaystyle {c}={0} \). Perciò \( \displaystyle {b}={c}={0} \). E allora anche \( \displaystyle {a}={0} \).

ii) Vale \( \displaystyle {a}+\sqrt{{{2}}}{b}+\sqrt{{{8}}}{c}={0} \) sse \( \displaystyle {a}+\sqrt{{{2}}}{\left({b}+{2}{c}\right)} \). Pertanto \( \displaystyle {b}+{2}{c}={0} \), i.e. \( \displaystyle {b}=-{2}{c} \), visto che altrimenti \( \displaystyle \sqrt{{{2}}} \) risulta razionale. Da qui, anche \( \displaystyle {a}={0} \). Allora ogni terna \( \displaystyle {\left({a},{b},{c}\right)}\in{{\mathbb{{{Z}}}}}^{{3}} \) per cui \( \displaystyle {a}+\sqrt{{{2}}}{b}+\sqrt{{{8}}}{c}={0} \) è necessariamente della forma \( \displaystyle {\left({0},-{2}{c},{c}\right)} \), i.e. è un multiplo intero qualunque della terna base \( \displaystyle {\left({0},-{2},{1}\right)} \).

[Steven]

Ok, la strada era quella

Una cosa: cosa si intende quando si dice "multiplo razionale", secondo voi?

[Gabriel]

S'intende che, se \( \displaystyle {\left({a},{b},{c}\right)}\in{{\mathbb{{{Q}}}}}^{{3}} \) e \( \displaystyle {a}+{b}\sqrt{{{2}}}+{c}\sqrt{{{8}}}={0} \), allora esiste \( \displaystyle {q}\in{\mathbb{{{Q}}}} \) tale che \( \displaystyle {\left({a},{b},{c}\right)}={q}\cdot{\left({0},-{2},{1}\right)} \). Il che pare evidente, almeno a questo punto.