SNS anno 2006

[elios]

Questo è il testo del problema:
"In un quadrato di lato 1 sono disposte alcune circonferenze; la somma dei loro perimetri è 10.
1) Dimostrare che le circonferenze date sono almeno 4
2) Dimostrare che esiste una retta che ne interseca almeno 4"

Questa è la mia risoluzione:
1) La circonferenza massima, tangente a tutti e quattro i lati, ha perimetro:
\( \displaystyle {2}{p}_{{\max}}={2}\cdot\pi\cdot{\left(\frac{{1}}{{2}}\right)}=\pi \)
Se le circonferenze fossero solo massime, per raggiungere un perimetro di 10 ne occorrerebbero \( \displaystyle \frac{{10}}{\pi}={3},{18}.. \), più di 3. Di conseguenza le circonferenze devono essere almeno 4.
2) Dimostro che, se le circonferenze sono 4, è impossibile che esse siano tra loro esterne.
Il raggio medio delle circonferenze è \( \displaystyle {2}\cdot\pi\cdot{r}_{{{m}{e}{d}{i}{o}}}=\frac{{10}}{{4}} \), \( \displaystyle {r}_{{{m}{e}{d}{i}{o}}}=\frac{{5}}{{\pi\cdot{4}}}={0},{3975} \)
Le quattro circonferenze allineate occuperebbero (se fossero tangenti esternamente)
\( \displaystyle {\left({4}\cdot{r}_{{{m}{e}{d}{i}{o}}}\right)}\cdot{2}={3},{18} \), lunghezza maggiore del segmento interno massimo del quadrato, cioè la diagonale, pari a \( \displaystyle \sqrt{{2}} \). Perciò è impossibile.
Tre circonferenze allineate occuperebbero \( \displaystyle {\left({3}\cdot{r}_{{{m}{e}{d}{i}{o}}}\right)}\cdot{2}={2},{385} \), ancora maggiore.
Due circonferenze allineate \( \displaystyle {\left({2}\cdot{r}_{{{m}{e}{d}{i}{o}}}\right)}\cdot{2}={1},{59} \), di nuovo maggiore.
Di conseguenza, se le circonferenze sono 4, nessuna di esse può essere esterna a nessun'altra, poiché non esiste alcun segmento interno al quadrato lungo abbastanza da contenere i due diametri. Quindi, ci sarà una parte di spazio comune a tutte e quattro le circonferenze, e qualunque retta che passi per tale spazio interseca tutte e quattro le circonferenze.
Se generalizziamo questo ragionamento \( \displaystyle {r}_{{{m}{e}{d}{i}{o}}}=\frac{{5}}{{\pi\cdot{n}}} \), con \( \displaystyle {n} \) il numero di circonferenze.
Chiamano \( \displaystyle {x} \) il numero di circonferenze che possono allinearsi:
\( \displaystyle {2}\cdot{\left(\frac{{5}}{{\pi\cdot{n}}}\right)}\cdot{x}=\sqrt{{2}} \)
\( \displaystyle {x}={\left(\sqrt{{2}}\cdot\frac{\pi}{{10}}\right)}\cdot{n}={0},{444}\cdot{n} \)
Affinchè \( \displaystyle {x} \) sia almeno uguale a 2, \( \displaystyle {0},{444}\cdot{n}={2} \), \( \displaystyle {n}={4},{5} \), le circonferenze devono essere almeno 5. Due di queste circonferenze possono essere allineate, ma devono intersecarsi ciascuna con le altre 3. Perciò ci saranno due regioni di spazio comuni a quattro circonferenze, per il quale spazio può passare la retta che le interseca.
E così via al crescere di \( \displaystyle {n} \).

Che ne pensate? Sinceramente, non sono molto convinta del ragionamento, a causa dell'introduzione del "raggio medio", che mi lascia un po' perplessa. Grazie mille!

[ficus2002]

Le quattro circonferenze allineate occuperebbero (se fossero tangenti esternamente) \( \displaystyle {\left({4}\cdot{r}_{{{m}{e}{d}{i}{o}}}\right)}\cdot{2}={3},{18} \)

Non mi convince questa affermazione; dal calcolo che fai sembra che per "circonferenze allineate" intendi circonferenze i cui centri sono allineati. Come garantisci che circonferenze tangenti esternamente siano allineate?

In un quadrato di lato 1 sono disposte alcune circonferenze; la somma dei loro perimetri è 10.
1) Dimostrare che le circonferenze date sono almeno 4;
2) Dimostrare che esiste una retta che ne interseca almeno 4.

Mi pregio di proporre una soluzione per il punto 2).
Supponiamo per assurdo che ogni retta interseca chi al più 3 circonferenze. Sia \( \displaystyle {m} \) un intero positivo; consideriamo un fascio \( \displaystyle \Phi \) di rette parallele ad un fissato lato del quadrato distanti tra loro di \( \displaystyle \frac{{1}}{{m}} \). Tra queste, esattamente \( \displaystyle {m}+{1} \) rette intersecano il quadrato.
Siano \( \displaystyle \gamma_{{1}},\ldots,\gamma_{{n}} \) le \( \displaystyle {n} \) circonferenze del quadrato; se \( \displaystyle {r}_{{i}} \) è il raggio di \( \displaystyle \gamma_{{i}} \), allora per ipotesi
\( \displaystyle {\sum_{{{i}={1}}}^{{n}}}{r}_{{i}}=\frac{{5}}{\pi} \).
Per ogni \( \displaystyle {i} \) sia \( \displaystyle {k}_{{i}} \) il numero di rette del fascio \( \displaystyle \Phi \) che intersecano \( \displaystyle \gamma_{{i}} \). Dato che assumiamo che ognuna di queste rette interseca al più tre circonferenze, si ha
\( \displaystyle {\sum_{{{i}={1}}}^{{n}}}{k}_{{i}}\leq{3}{\left({m}+{1}\right)} \).
D'altra parte, se \( \displaystyle \gamma_{{i}} \) interseca \( \displaystyle {k}_{{i}} \) rette allora
\( \displaystyle {2}{r}_{{i}}\lt\frac{{{k}_{{i}}+{1}}}{{m}} \).
Dunque si ha
\( \displaystyle \frac{{5}}{\pi}={\sum_{{{i}={1}}}^{{n}}}{r}_{{i}}\lt{\sum_{{{i}={1}}}^{{n}}}\frac{{{k}_{{i}}+{1}}}{{{2}{m}}}\leq\frac{{{3}{\left({m}+{1}\right)}+{n}}}{{{2}{m}}} \).
Poiché \( \displaystyle {m} \) è arbitrario e poiché \( \displaystyle \frac{{{3}{\left({m}+{1}\right)}+{n}}}{{{2}{m}}}\to\frac{{3}}{{2}} \) per \( \displaystyle {m}\to\infty \) si ha
\( \displaystyle \frac{{5}}{\pi}\leq\frac{{3}}{{2}} \)
ossia \( \displaystyle {3}\pi\geq{10} \) - contraddizione.

[elios]

Le quattro circonferenze allineate occuperebbero (se fossero tangenti esternamente) \( \displaystyle {\left({4}\cdot{r}_{{{m}{e}{d}{i}{o}}}\right)}\cdot{2}={3},{18} \)

Non mi convince questa affermazione; dal calcolo che fai sembra che per "circonferenze allineate" intendi circonferenze i cui centri sono allineati. Come garantisci che circonferenze tangenti esternamente siano allineate?

Quel "tangenti esternamente" era per prendere il caso di minima distanza occupata da delle circonferenze allineate ESTERNE, non intersecanti in realtà. Cioè il calcolo che faccio è il valore minimo che le circonferenze allineate occupano, valore che si ottiene se sono tutte tangenti.

[Steven]

Molto bella la tua soluzione, ficus2002, non avrei mai pensato di inserire un fascio di rette.
I miei complimenti, per quello che valgono.

Una cosa comunque volevo dire.
Dici che
\( \displaystyle {2}{r}_{{i}}\lt{\frac{{{k}_{{i}}+{1}}}{{{m}}}} \)
Non è che forse è meglio scrivere \( \displaystyle {\frac{{{k}_{{i}}+{2}}}{{{m}}}} \), ovvero sostituire l'uno col due?

Per capirci, considera

dove le due rette all'estremità nn toccano per poco.
Allora il diametro \( \displaystyle {2}{r} \) vale
\( \displaystyle {2}{r}=\frac{{k}_{{i}}}{{m}}+{x}+{y} \) dove \( \displaystyle {x},{y} \) sono i due pezzettini che mancano (i quasi 1/m).
Vedi infatti che \( \displaystyle {x}+{y} \) arriva fino a \( \displaystyle \frac{{1}}{{m}}+\frac{{1}}{{m}}=\frac{{2}}{{m}} \) senza toccarlo

Non cambia nulla ai fini del conto. C'è qualche motivo per cui è sufficiente mettere \( \displaystyle {k}_{{i}}+{1} \) e non \( \displaystyle +{2} \) ?

Ciao!

[ficus2002]

Molto bella la tua soluzione, ficus2002, non avrei mai pensato di inserire un fascio di rette.
I miei complimenti, per quello che valgono.

grazie

Allora il diametro \( \displaystyle {2}{r} \) vale
\( \displaystyle {2}{r}=\frac{{k}_{{i}}}{{m}}+{x}+{y} \) dove \( \displaystyle {x},{y} \) sono i due pezzettini che mancano (i quasi 1/m).
Vedi infatti che \( \displaystyle {x}+{y} \) arriva fino a \( \displaystyle \frac{{1}}{{m}}+\frac{{1}}{{m}}=\frac{{2}}{{m}} \) senza toccarlo

Non cambia nulla ai fini del conto. C'è qualche motivo per cui è sufficiente mettere \( \displaystyle {k}_{{i}}+{1} \) e non \( \displaystyle +{2} \) ?

Se non sbaglio dovrebbe essere
\( \displaystyle {2}{r}_{{i}}=\frac{{{k}_{{i}}-{1}}}{{m}}+{x}+{y} \) dove \( \displaystyle {x},{y} \) sono i due pezzettini che mancano (i quasi 1/m)
e dove il \( \displaystyle {k}_{{i}}-{1} \) è giustificato dal fatto che i pezzi di lunghezza \( \displaystyle \frac{{1}}{{m}} \) sono \( \displaystyle {k}_{{i}}-{1} \).

[Steven]

e dove il \( \displaystyle {k}_{{i}}-{1} \) è giustificato dal fatto che i pezzi di lunghezza \( \displaystyle \frac{{1}}{{m}} \) sono \( \displaystyle {k}_{{i}}-{1} \).

Ecco, io non avevo considerato questo fatto (aveto tenuto fermo il numeratore a \( \displaystyle {k}_{{i}} \)).
E' corretto il tuo risultato allora.

Grazie per il chiarimento, buon fine settimana!

[ficus2002]

Grazie per il chiarimento, buon fine settimana!

Di niente, buon fine settimana!

[elios]

Per ogni \( \displaystyle {i} \) sia \( \displaystyle {k}_{{i}} \) il numero di rette del fascio \( \displaystyle \Phi \) che intersecano \( \displaystyle \gamma_{{i}} \). Dato che assumiamo che ognuna di queste rette interseca al più tre circonferenze, si ha
\( \displaystyle {\sum_{{{i}={1}}}^{{n}}}{k}_{{i}}\leq{3}{\left({m}+{1}\right)} \).

Scusami puoi spiegarmi come hai scritto questa disequazione? Ho capito quello che significa e quello a cui porta, ma non ho capito come l'hai costruita. Grazie mille.

[ficus2002]

\( \displaystyle {\sum_{{{i}={1}}}^{{n}}}{k}_{{i}}\leq{3}{\left({m}+{1}\right)} \).

Scusami puoi spiegarmi come hai scritto questa disequazione? Ho capito quello che significa e quello a cui porta, ma non ho capito come l'hai costruita. Grazie mille.

La quantità \( \displaystyle {\sum_{{{i}={1}}}^{{n}}}{k}_{{i}} \) indica il numero totale di intersezioni tra le \( \displaystyle {n} \) circonferenze e le \( \displaystyle {m}+{1} \) rette del fascio che intersecano il quadrato.
Il numero massimo di intersezioni tra le circonferenze e le rette è \( \displaystyle {3}{\left({m}+{1}\right)} \) in quanto ogni retta interseca al più tre circonferenze.

[elios]

Ho capito, grazie mille!!