SNS anno 2004-2005
"La possibile esistenza di una costante cosmologica $delta$ è uno dei risultati più sorprendenti della fisica degli ultimi anni. In presenza di una costante cosmologica, la forza radiale su un pianeta di massa $m$ in orbita attorno al Sole ad una distanza $r$ vale
$F_delta= - (G*m*M_S)/r^2 + (delta*m*r)/3$
a) Per $delta$ positivo, il termine correttivo dovuto alla costante cosmologica è equivalente alla presenza di una densità di massa uniforme e negativa (cioè che agisce respingendo il pianeta). Densità di quale valore?
b) Le osservazioni cosmologiche indicano un valore di $delta$ di circa $10^(-35) sec^(-2)$. Qual è l'ordine di grandezza della modifica relativa del periodo di rivoluzione della Terra intorno al Sole dovuta alla presenza di una tale costante cosmologica?"
Partendo dal punto a), io ho come immaginato un corpo di massa $M$ negativa, sovrapposta alla massa solare, che respinge il pianeta. Quindi ho eguagliato il termine correttivo con la costante cosmologica alla forza di gravità "repulsiva" che tale corpo esercita sul pianeta.
$(delta*m*r)/3=(G*m*M)/r^2$
La massa del corpo è $M=(delta*r^3)/(3*G)$, ricordando che questo valore è un valore "negativo".
Siccome mi dice che la massa è uniforme, ho ipotizzato che sia una sfera. Quindi
$rho=M/V=(delta*r^3)/(3*G*4/3*pi*r^3)=delta/(4*pi*G)$
Che ne pensate?
Nel punto b), ho impostato questa equazione:
$-(G*m*M_S)/r^2 + (delta*m*r)/3 = - m (4*pi^2*r)/T^2$
ricavandomi $T$ che è il nuovo periodo. Poi, per calcolare la "modifica relativa del periodo di rivoluzione", faccio il rapporto tra il periodo della Terra e questo nuovo periodo.
Grazie mille.