soluzioni congruenza

[giampfrank]

Ciao, volevo chiedere se sono giusti i passaggi fin qui per determinare tutte le soluzioni della seguente congruenza:

\( \displaystyle {{x}}^{{17}}\equiv{2}\text{mod}{51} \)

1) Verifico se \( \displaystyle {\left({2},{51}\right)}={1}.{L}{a}{s}{o}{l}{u}{z}{i}{o}\ne\partial{l}'{e}{q}{u}{a}{z}{i}{o}\ne{s}{e}{e}{s}{i}{s}{t}{e}{d}{e}{v}{e}{e}{s}{s}{e}{r}{e}\in{v}{e}{r}{t}{i}{b}{i}\le \)mod 51\( \displaystyle .\lt{b}\frac{{r}}{\gt}{2}\){C}{a}{l}{c}{o}{l}{o}{i}{l}\nu{m}{e}{r}{o}{d}{i}{e}\le{m}{e}{n}{t}{i}{d}{i} \)(Z//51Z)^* = Phi(51) = (17-1)(3-1)=32\( \displaystyle .{P}{o}{i}{c}{h}è \)(17,32)=1\( \displaystyle {p}{o}{s}{s}{o}{\det{{e}}}{r}\min{a}{r}{e}{l}'\in{v}{e}{r}{s}{o} \)d\( \displaystyle {d}{i} \)17 mod 32\( \displaystyle .{P}{e}{r}{f{{a}}}{r}{e}{q}{u}{e}{s}\to{a}{p}{p}{l}{i}{c}{o}{E}{u}{c}{l}{i}{d}{e}{s}{u} \)17\( \displaystyle {e} \)32\( \displaystyle {e}{d}{e}{s}{p}{l}{i}{c}{i}\to{i}{l}{r}{e}{s}\to \)1\( \displaystyle {c}{o}{m}{e}{l}{a}{l}{\quad\text{or}\quad}{o}{c}{o}{m}{b}\in{a}{z}{i}{o}\ne{l}\in{e}{a}{r}{e}. \)d\( \displaystyle {s}{a}{r}à{u}{g{{u}}}{a}\le{a}{l}{c}{o}{e}{f{{f{{i}}}}}{c}{i}{e}{n}{t}{e}{d}{i} \)17\( \displaystyle .\lt{b}\frac{{r}}{\gt}\lt{b}\frac{{r}}{\gt} \)1=(8)32+(-15)17\( \displaystyle . \)d=-15$

Fin qui è corretto il procedimento???

Grazie, ciao.

[misanino]

Ciao, volevo chiedere se sono giusti i passaggi fin qui per determinare tutte le soluzioni della seguente congruenza:

\( \displaystyle {{x}}^{{17}}\equiv{2}\text{mod}{51} \)

1) Verifico se \( \displaystyle {\left({2},{51}\right)}={1}.{L}{a}{s}{o}{l}{u}{z}{i}{o}\ne\partial{l}'{e}{q}{u}{a}{z}{i}{o}\ne{s}{e}{e}{s}{i}{s}{t}{e}{d}{e}{v}{e}{e}{s}{s}{e}{r}{e}\in{v}{e}{r}{t}{i}{b}{i}\le \)mod 51\( \displaystyle .\lt{b}\frac{{r}}{\gt}{2}\){C}{a}{l}{c}{o}{l}{o}{i}{l}\nu{m}{e}{r}{o}{d}{i}{e}\le{m}{e}{n}{t}{i}{d}{i} \)(Z//51Z)^* = Phi(51) = (17-1)(3-1)=32\( \displaystyle .{P}{o}{i}{c}{h}è \)(17,32)=1\( \displaystyle {p}{o}{s}{s}{o}{\det{{e}}}{r}\min{a}{r}{e}{l}'\in{v}{e}{r}{s}{o} \)d\( \displaystyle {d}{i} \)17 mod 32\( \displaystyle .{P}{e}{r}{f{{a}}}{r}{e}{q}{u}{e}{s}\to{a}{p}{p}{l}{i}{c}{o}{E}{u}{c}{l}{i}{d}{e}{s}{u} \)17\( \displaystyle {e} \)32\( \displaystyle {e}{d}{e}{s}{p}{l}{i}{c}{i}\to{i}{l}{r}{e}{s}\to \)1\( \displaystyle {c}{o}{m}{e}{l}{a}{l}{\quad\text{or}\quad}{o}{c}{o}{m}{b}\in{a}{z}{i}{o}\ne{l}\in{e}{a}{r}{e}. \)d\( \displaystyle {s}{a}{r}à{u}{g{{u}}}{a}\le{a}{l}{c}{o}{e}{f{{f{{i}}}}}{c}{i}{e}{n}{t}{e}{d}{i} \)17\( \displaystyle .\lt{b}\frac{{r}}{\gt}\lt{b}\frac{{r}}{\gt} \)1=(8)32+(-15)17\( \displaystyle . \)d=-15\( \displaystyle \lt{b}\frac{{r}}{\gt}\lt{b}\frac{{r}}{\gt}{F}\in{q}{u}{i}è{c}{\quad\text{or}\quad}{r}{e}{\mathtt{{o}}}{i}{l}{p}{r}{o}{c}{e}\dim{e}{n}\to???\lt{b}\frac{{r}}{\gt}\lt{b}\frac{{r}}{\gt}{G}{r}{a}{z}{i}{e},{c}{i}{a}\odot\frac{\lt}{\div}\gt\frac{\lt}{{b}}{l}{o}{c}{k}{q}{u}{o}{t}{e}\gt\lt{b}\frac{{r}}{\gt}\lt{b}\frac{{r}}{\gt}{M}{a}{s}{e}{a}{\mathbf{{i}}}{a}{m}{o}{u}{n}{a}\stackrel{\sim}{=}{r}{u}{e}{n}{z}{a}\text{mod}{\underline{{o}}} \)n\( \displaystyle {a}{l}{l}{\quad\text{or}\quad}{a}{a}{\mathbf{{i}}}{a}{m}{o}{a}{n}{c}{h}{e}{l}{a}{s}{t}{e}{s}{s}{a}\stackrel{\sim}{=}{r}{u}{e}{n}{z}{a}\text{mod}{\underline{{o}}}{o}{g{{n}}}{i}\div{i}{s}{\quad\text{or}\quad}{e}{d}{i} \)n\( \displaystyle .\lt{b}\frac{{r}}{\gt}{P}{e}{r}{c}{i}ò{s}{e} \)x\( \displaystyle è{t}{a}\le{c}{h}{e} \)x^17-=2 mod 51\( \displaystyle {a}{l}{l}{\quad\text{or}\quad}{a}{s}{i}{h}{a}{a}{n}{c}{h}{e} \)x^17-=2 mod 3\( \displaystyle \lt{b}\frac{{r}}{\gt}{e}{q}{u}\in{d}{i}{d}{a}\to{c}{h}{e} \)17=5*3+2\( \displaystyle {s}{i}{h}{a} \)x^2-=2 mod 3$ e questa congruenza non ha soluzioni!
Quindi non esistono soluzioni neanche della congruenza di partenza

[blackbishop13]

Perciò se \( \displaystyle {x} \) è tale che \( \displaystyle {{x}}^{{17}}\equiv{2}\text{mod}{51} \) allora si ha anche \( \displaystyle {{x}}^{{17}}\equiv{2}\text{mod}{3} \)
e quindi dato che \( \displaystyle {17}={5}\cdot{3}+{2} \) si ha \( \displaystyle {{x}}^{{2}}\equiv{2}\text{mod}{3} \) e questa congruenza non ha soluzioni!

Siccome \( \displaystyle {17}={2}\cdot{8}+{1} \), sfruttando il fatto che \( \displaystyle \forall{x}\in\mathbb{Z}_{{3}}-{\left\lbrace{0}\right\rbrace} \), \( \displaystyle {{x}}^{{2}}={1} \), otteniamo \( \displaystyle {{x}}^{{17}}={x} \) \( \displaystyle \text{mod}{3} \).

quindi se lavoriamo modulo tre ha soluzione, e la soluzione è \( \displaystyle {x}={2} \), attenzione!!

questo per chiarire un po' la teoria,ma si vede banalmente che \( \displaystyle {{x}}^{{17}}={2}=-{1} \)ha soluzione \( \displaystyle {x}=-{1} \)

[aleio2]

e quindi dato che \( \displaystyle {17}={5}\cdot{3}+{2} \) si ha \( \displaystyle {{x}}^{{2}}\equiv{2}\text{mod}{3} \) e questa congruenza non ha soluzioni!
Quindi non esistono soluzioni neanche della congruenza di partenza

penso ci sia un errore perchè da \( \displaystyle 17=5\cdot3+2 \) ricavi \( \displaystyle x\cdot x^2\equiv2 \ mod \ 3\Rightarrow x^3\equiv2 \ mod \ 3 \) che ha soluzione \( \displaystyle x\equiv2 \ mod \ 3 \)

o sbaglio?

[misanino]

E' vero!!!
Che stordito che sono!
Sto lavorando modulo 3 e quindi \( \displaystyle {{x}}^{{2}}={1} \) e non \( \displaystyle {{x}}^{{3}} \).
Chiedo scusa.
Grazie per la correzione