Soluzioni del seguente sistema

[Albert Wesker 27]

Non sapevo bene dove postare questa domanda, essendo essa stata posta come quesito di una gara matematica che prende luogo all'università di Firenze. Alla gara prendono parte studenti di 4a e 5a superiore che vengano segnalati dai propri professori. Parteciperò a questa gara giovedi. Ora, guardando i testi delle edizioni passate, mi sono imbattuto in un quesito per il quale ho bisogno del vostro aiuto:

Determinare tutte le coppie di numeri interi positivi (x; y) e tutte le coppie di primi distinti (p; q), con p e q maggiori di 1, tali che:

\( \displaystyle {\left\lbrace\matrix{{{x}}^{{2}}-{{y}}^{{2}}={{p}}^{{6}}\\{{x}}^{{3}}-{{y}}^{{3}}={{p}}^{{4}}{{q}}^{{2}}}\right.} \)

(Ricordo che è un sistema, ma non riuscivo ad inserire la graffa)

Si capisce intanto che \( \displaystyle {x}\gt{y} \) ma poi.. Non so proprio che strada prendere..

[mod="WiZaRd"]
Inserita la parentesi graffa.
[/mod]

[Steven]

Ciao.

La strategia è di fare considerazioni sulla prima equazione.
Hai
\( \displaystyle {\left({x}-{y}\right)}{\left({x}+{y}\right)}={{p}}^{{6}} \) ma siccome \( \displaystyle {p} \) è appunto primo, i due fattori al primo membro saranno potenze di \( \displaystyle {p} \) per forza (proprio perché non ci sono altri divisori possibili oltre a \( \displaystyle {1},{p},{{p}}^{{2}},{{p}}^{{3}},{{p}}^{{4}},{{p}}^{{5}},{{p}}^{{6}} \)

Ma d'altra parte vedi subito che \( \displaystyle {x}-{y} \) è minore di \( \displaystyle {x}+{y} \), nemmeno può essere uguale (sarebbe altrimenti \( \displaystyle {x}-{y}={x}+{y} \) cioè \( \displaystyle {y}={0} \), ma il testo parla di interi positivi, quindi non nulli).
Cioè \( \displaystyle {x}-{y} \) può valere \( \displaystyle {1},{p},{{p}}^{{2}} \).

Se ad esempio fosse infatti \( \displaystyle {x}-{y}={{p}}^{{4}} \), allora hai \( \displaystyle {x}+{y}={{p}}^{{2}} \), contro il fatto che la differenza è minore della somma.

Ora devo andare, spero che fin qui sia tutto chiaro. Ciao!

[Albert Wesker 27]

Non ho capito bene l'ultimo passaggio. Questo problema mi sta facendo impazzire!

[Albert Wesker 27]

Quindi \( \displaystyle {\left({x}-{y}\right)}={1} \) o \( \displaystyle {\left({x}-{y}\right)}={p} \) o \( \displaystyle {\left({x}-{y}\right)}={{p}}^{{2}} \). Purtroppo sostituendo non riesco a escludere soluzioni...

[Gi8]

\( \displaystyle {{x}}^{{3}}-{{y}}^{{3}}={\left({x}-{y}\right)}{\left({{x}}^{{2}}+{{y}}^{{2}}+{x}{y}\right)}={\left({x}-{y}\right)}{\left[{{\left({x}+{y}\right)}}^{{2}}-{x}{y}\right]} \)

Dunque \( \displaystyle {\left({x}-{y}\right)}{\left[{{\left({x}+{y}\right)}}^{{2}}-{x}{y}\right]}={{p}}^{{4}}{{q}}^{{2}} \)

E tu conosci quanto possono valere sia \( \displaystyle {x}-{y} \) che \( \displaystyle {x}+{y} \) .... Quindi puoi ricavarti quanto vale \( \displaystyle {x}{y} \)