Soluzioni di polinomi - SNS 1990

[elios]

"Sia dato il polinomio \( \displaystyle {F}{\left({x}\right)}={{x}}^{{n}}+{a}_{{{n}-{1}}}\cdot{{x}}^{{{n}-{1}}}+\ldots+{a}_{{0}} \) con coefficienti \( \displaystyle {a}_{{i}} \) interi. Supponiamo che esistano quattro interi distinti \( \displaystyle {a} \), \( \displaystyle {b} \), \( \displaystyle {c} \), \( \displaystyle {d} \), tali che \( \displaystyle {F}{\left({a}\right)}={F}{\left({b}\right)}={F}{\left({c}\right)}={F}{\left({d}\right)}={7} \). Dimostrare che non esiste alcun intero \( \displaystyle {k} \) tale che \( \displaystyle {F}{\left({k}\right)}={12} \)".

Risolvendo questo problema, mi è tornato in mente un esercizio delle Olimpiadi della Matematica che fa così:
Dato il polinomio \( \displaystyle {p}{\left({x}\right)} \) a coefficienti interi si sa che esistono 4 interi distinti \( \displaystyle {a} \), \( \displaystyle {b} \), \( \displaystyle {c} \) e \( \displaystyle {d} \) tali che \( \displaystyle {p}{\left({a}\right)}={p}{\left({b}\right)}={p}{\left({c}\right)}={p}{\left({d}\right)}={5} \). Si dimostri che non esiste alcun intero \( \displaystyle {k} \) tale che \( \displaystyle {p}{\left({k}\right)}={8} \).

Trascrivo la soluzione che c'è sul libro delle Olimpiadi della Matematica.
Poniamo \( \displaystyle {q}{\left({x}\right)}={p}{\left({x}\right)}-{5} \). Allora \( \displaystyle {a} \), \( \displaystyle {b} \), \( \displaystyle {c} \) e \( \displaystyle {d} \) sono radici intere distinte di \( \displaystyle {q}{\left({x}\right)} \). Usando l'algoritmo di divisione dei polinomi e il teorema di Ruffini, possiamo concludere che \( \displaystyle {q}{\left({x}\right)}={\left({x}-{a}\right)}{\left({x}-{b}\right)}{\left({x}-{c}\right)}{\left({x}-{d}\right)}\cdot{h}{\left({x}\right)} \), dove \( \displaystyle {h}{\left({x}\right)} \) è un polinomio a coefficienti interi. Sia ora un \( \displaystyle {k} \) intero tale che \( \displaystyle {q}{\left({k}\right)}={\left({k}-{a}\right)}{\left({k}-{b}\right)}{\left({k}-{c}\right)}{\left({k}-{d}\right)}\cdot{h}{\left({k}\right)} \) diverso da 0. Osserviamo che \( \displaystyle {k}-{a} \), \( \displaystyle {k}-{b} \), \( \displaystyle {k}-{c} \), \( \displaystyle {k}-{d} \) sono quattro interi distinti e non nulli. Pertanto il modulo del loro prodotto sarà maggiore o uguale a quattro, da cui \( \displaystyle {\left|{q}{\left({k}\right)}\right|}\ge{4} \). Ne concludiamo che \( \displaystyle {q}{\left({k}\right)} \) diverso da \( \displaystyle {3} \) per ogni \( \displaystyle {k} \) e quindi \( \displaystyle {p}{\left({k}\right)} \) diverso da \( \displaystyle {8} \).

Se io faccio lo stesso identico ragionamento per il mio problema ho sempre \( \displaystyle {\left|{q}{\left({k}\right)}\right|}\ge{4} \), ma \( \displaystyle {12}-{7}={5} \) che è maggiore di 4.
Come devo applicare il ragionamento del secondo problema sul mio problema iniziale?
Grazie mille dell'aiuto.

[dissonance]

Direi che hai fatto il 99.9% del lavoro. Sia \( \displaystyle {F} \) il polinomio di partenza e sia \( \displaystyle {P}={F}-{7} \). Per il teorema di Ruffini \( \displaystyle {P}{\left({x}\right)}={\left({x}-{a}\right)}{\left({x}-{b}\right)}{\left({x}-{c}\right)}{\left({x}-{d}\right)}{h}{\left({x}\right)} \) per un polinomio \( \displaystyle {h} \) a coefficienti interi. Ora supponiamo che esista \( \displaystyle {k} \) intero tale che \( \displaystyle {F}{\left({k}\right)}={12} \), ovvero \( \displaystyle {P}{\left({k}\right)}={5} \). Deve essere

\( \displaystyle {\left({k}-{a}\right)}{\left({k}-{b}\right)}{\left({k}-{c}\right)}{\left({k}-{d}\right)}{h}{\left({k}\right)}={5} \);

ma essendo i singoli fattori dei numeri interi, questo potrebbe essere solo quando tutti i fattori sono uguali a \( \displaystyle \pm{1} \) tranne uno che è uguale a \( \displaystyle \pm{5} \). E questo non è possibile.

[elios]

Ah, quindi non devo considerare, come nel problema delle Olimpiadi, che \( \displaystyle {q}{\left({x}\right)}\ge{4} \), ma mi basta sfruttare il fatto che \( \displaystyle {5} \) sia un numero primo.. Grazie mille!