Soluzioni di un sistema lineare

[Paolo90]

Premetto che non so quanto possa esserti utile ciò che ti dico, però ci provo lo stesso.

Come è già stato detto più di una volta in questa discussione, l'insieme delle soluzioni di un sistema lineare è un sottospazio se e solo se il sistema è omogeneo.
C'è quindi poco da fare: esiste un solo valore di \( \displaystyle {a} \) per cui il sistema è omogeneo, e non è difficile trovarlo.

In questo modo, nel punto b) ti levi dalle scatole il parametro e, forse, è più agevole trovare la base cercata.

P.S. Piccolo richiamo teorico: ti ricordo che il sottospazio che stai cercando (=sol. del sistema omogeneo) si chiama nullspace della matrice i cui elementi sono i coefficienti delle incognite del sistema.

[sal1989]

Premetto che non so quanto possa esserti utile ciò che ti dico, però ci provo lo stesso.

Come è già stato detto più di una volta in questa discussione, l'insieme delle soluzioni di un sistema lineare è un sottospazio se e solo se il sistema è omogeneo.
C'è quindi poco da fare: esiste un solo valore di \( \displaystyle {a} \) per cui il sistema è omogeneo, e non è difficile trovarlo.

In questo modo, nel punto b) ti levi dalle scatole il parametro e, forse, è più agevole trovare la base cercata.

P.S. Piccolo richiamo teorico: ti ricordo che il sottospazio che stai cercando (=sol. del sistema omogeneo) si chiama nullspace della matrice i cui elementi sono i coefficienti delle incognite del sistema.

Quindi in teoria se io sostituisco il valore \( \displaystyle {a} \) per cui il sistema è omogeneo, nelle soluzioni che ho ottenuto...ho che le soluzioni ottenuta è sottospazio, ora resta solo un problema...come me la determino questa maledetta base!? -.-^^
Dovrei riscrivere la matrice associata al sistema sostituendo il valore di \( \displaystyle {a} \) e quindi...trovarmi dei vettori lineramente indipendenti? -.-^

P.S. Spero di non offendere nessuno se scrivo bagianate ...ehehe

[Sergio]

Quindi in teoria se io sostituisco il valore \( \displaystyle {a} \) per cui il sistema è omogeneo, nelle soluzioni che ho ottenuto...ho che le soluzioni ottenuta è sottospazio, ora resta solo un problema...come me la determino questa maledetta base!? -.-^^
Dovrei riscrivere la matrice associata al sistema sostituendo il valore di \( \displaystyle {a} \) e quindi...trovarmi dei vettori lineramente indipendenti? -.-^

P.S. Spero di non offendere nessuno se scrivo bagianate ...ehehe

Il problema non è scrivere baggianate (ne ho scritte tante io...), ma capire cosa sai e cosa non sai, cosa capisci e cosa ti sfugge.
Passo per passo:
a) "se io sostituisco il valore \( \displaystyle {a} \) per cui il sistema è omogeneo": qual è questo valore? come diventa il sistema?
b) "le soluzioni ottenuta è sottospazio": non esattamente, piuttosto "l'insieme delle soluzioni è un sottospazio";
c) "come me la determino questa maledetta base?"
Hai varie strade. Ad esempio:
1) se il sistema, una volta sostituito \( \displaystyle {a} \), è omogeneo, allora definisce un sottospazio; se hai già affrontato esercizi del tipo "trovare una base del sottospazio definito dalle seguenti equazioni", sai come fare;
2) puoi riscrivere il sistema omogeneo in forma matriciale, cioè \( \displaystyle {A}{x}={0} \); in questo modo tutto si riduce a trovare una base del nucleo (o nullspace) di \( \displaystyle {A} \); se hai già risolto esercizi di questo tipo, sai come fare.
Scegli tu.
Se invece non hai mai risolto esercizi di questi tipi... sono dolori

[sal1989]

Stabilire al variare del parametro reale \( \displaystyle {a} \) quante soluzioni ammette il seguente sistema lineare

\( \displaystyle {\left\lbrace\matrix{{\left({a}+{1}\right)}{x}{1}-{\left({a}+{1}\right)}{x}{2}+{x}{4}=-{a}\\{x}{1}-{2}{x}{2}-{x}{3}={0}\\{{\left({a}+{1}\right)}}^{{{2}}}{x}{2}+{\left({a}+{1}\right)}{x}{3}+{x}{4}={a}}\right.} \)

b) Determinare se esistono valori di \( \displaystyle {a}\in{R} \) per il quale l'insieme delle soluzioni è un sottospazio. In tal caso scriverne una base.

Ragazzi vi riscrivo perchè ancora non sono riuscito a togliere i miei dubbi. Allora...avendo questo sistema lineare, per verificare quante soluzioni amette al variare di \( \displaystyle {a} \) mi determino la matrice associata e verifico che \( \displaystyle {r}{g{{A}}}{B}={r}{g{{B}}} \) dove rispettivamente A è la matrice completa, e B la matrice senza termini noti.
Dunque ottengo:

MATRICE COMPLETA = \( \displaystyle {\left(\matrix{{a}-{1}&-{a}+{1}&{0}&{1}&{2}-{a}\\{1}&-{2}&-{1}&{0}&{0}\\{0}&{{\left({a}+{1}\right)}}^{{{2}}}&{a}-{1}&{1}&{a}-{2}}\right)} \)

Andando a ridurre a scala ottengo dunque che

MATRICE COMPLETA RIDOTTA A SCALA = \( \displaystyle {\left(\matrix{{1}&-{2}&-{1}&{0}&{0}\\{0}&{a}-{1}&{a}-{1}&{1}&{2}-{a}\\{0}&{0}&{\left({a}-{1}\right)}{\left({a}-{2}\right)}&-{a}+{2}&{a}{\left(-{2}+{a}\right)}}\right)} \)

quindi avrò che ponendo diversi da 0 i termini che variano con \( \displaystyle {a} \) presenti nella diagonale principale verifico al variare di \( \displaystyle {a} \) quante soluzioni il sistema ammette in quanto se è compatibile potrò fare \( \displaystyle {\infty}^{{{n}-{r}}} \) dove n è il numero di incognite e r è il rango della matrice....e quindi ottengo che

per \( \displaystyle {a}={1} \) il sistema è incompatibile e quindi non ottengo alcuna soluzione perchè \( \displaystyle {r}{g{{A}}}{B}\ne{r}{g{{B}}} \)
per \( \displaystyle {a}={2} \) ottengo invece che il sistema è compatibile e quindi ammette \( \displaystyle {\infty}^{{{4}-{2}}}={\infty}^{{{2}}} \) soluzioni

Quello che non capisco adesso è:
1) Visto che l'esercizio mi richiede di determinarmi "se esistono valori di a∈R per il quale l'insieme delle soluzioni è un sottospazio. In tal caso scriverne una base" cosa devo fare?
1a) Continuo col determinarmi le soluzioni del sistema col metodo di sostituzione ovvero risolvendo il sistema dato dai coefficenti della matrice completa ridotta a scala ottenendo :

\( \displaystyle {\left\lbrace\matrix{{x}{1}-{2}{x}{2}-{x}{3}={0}\\{\left({a}-{1}\right)}{x}{2}+{\left({a}-{1}\right)}{x}{3}+{x}{4}={2}-{a}\\{\left({a}-{1}\right)}{\left({a}-{2}\right)}{x}{3}+{\left({2}-{a}\right)}{x}{4}={a}{\left(-{2}+{a}\right)}}\right.} \)

e quindi come soluzione ottengo il vettore \( \displaystyle {\left(\matrix{{x}{1}\\{x}{2}\\{x}{3}\\{x}{4}}\right)}={\left(\matrix{{9}{a}-{4}-{9}{{a}}^{{{2}}}-{a}{x}{4}\\{2}-{2}{a}-{x}{4}\\{\left({a}\//{a}+{1}\right)}-{\left({2}-{a}\right)}{x}{4}\\{x}{4}}\right)} \) ( praticamnte calcoli assurdi, impossibile, e pazzeschi... )
Ora, domanda, una volta che mi determino questa soluzione come vedo se è sottospazio!?

2) Altra domanda, per determinare semplicemente una base di questo sistema lineare...prendo le colonne dove ho i pivot dalla matrice ridotta? Ovvero guardando sempre questo esercizio avrei che una base del sistema è

\( \displaystyle {\left\lbrace{\left(\matrix{{a}-{1}\\{1}\\{0}}\right)},{\left(\matrix{-{a}+{1}\\-{2}\\{{\left({a}-{1}\right)}}^{{{2}}}}\right)},{\left(\matrix{{0}\\{1}\\{a}-{1}}\right)}\right\rbrace} \) perchè i PIVOT sono rispettivamente nella 1°, 2°, 3° colonna della MATRICE COMPLETA RIDOTTA?

GRAZIE MILLE A TUTTI SPERO RIUSCIATE AD AIUTARMI PERCHè MI BLOCCO E NON RIESCO AD ANDARE AVANTI...

[Sergio]

Direi che i casi sono due:
a) ti piace maledettamente complicarti la vita (ognuno ha i suoi gusti);
b) hai cominciato ad affrontare algebra lineare all'università ma coltivi l'illusione che in fondo si tratta solo di applicare cose che avevi già studiato alle superiori (sarebbe un errore enorme).
Ricominciamo:

Stabilire al variare del parametro reale \( \displaystyle {a} \) quante soluzioni ammette il seguente sistema lineare
\( \displaystyle {\left\lbrace\matrix{{\left({a}+{1}\right)}{x}{1}-{\left({a}+{1}\right)}{x}{2}+{x}{4}=-{a}\\{x}{1}-{2}{x}{2}-{x}{3}={0}\\{{\left({a}+{1}\right)}}^{{{2}}}{x}{2}+{\left({a}+{1}\right)}{x}{3}+{x}{4}={a}}\right.} \)
b) Determinare se esistono valori di \( \displaystyle {a}\in{R} \) per il quale l'insieme delle soluzioni è un sottospazio. In tal caso scriverne una base.

Ti è stato detto e ripetuto che perché l'insieme delle soluzioni sia un sottospazio il sistema deve essere omogeneo.
Questo vuol dire che i termini noti devono essere tutti nulli, quindi deve essere \( \displaystyle {a}={0} \).
Il sistema diventa:
\( \displaystyle {\left\lbrace\matrix{{x}{1}-{x}{2}+{x}{4}={0}\\{x}{1}-{2}{x}{2}-{x}{3}={0}\\{x}{2}+{x}{3}+{x}{4}={0}}\right.} \)
A questo punto basta trovare l'insieme delle soluzioni, e non servono "calcoli assurdi, impossibili, e pazzeschi".

[sal1989]

Direi che i casi sono due:
a) ti piace maledettamente complicarti la vita (ognuno ha i suoi gusti);
b) hai cominciato ad affrontare algebra lineare all'università ma coltivi l'illusione che in fondo si tratta solo di applicare cose che avevi già studiato alle superiori (sarebbe un errore enorme).
Ricominciamo:

Stabilire al variare del parametro reale \( \displaystyle {a} \) quante soluzioni ammette il seguente sistema lineare
\( \displaystyle {\left\lbrace\matrix{{\left({a}+{1}\right)}{x}{1}-{\left({a}+{1}\right)}{x}{2}+{x}{4}=-{a}\\{x}{1}-{2}{x}{2}-{x}{3}={0}\\{{\left({a}+{1}\right)}}^{{{2}}}{x}{2}+{\left({a}+{1}\right)}{x}{3}+{x}{4}={a}}\right.} \)
b) Determinare se esistono valori di \( \displaystyle {a}\in{R} \) per il quale l'insieme delle soluzioni è un sottospazio. In tal caso scriverne una base.

Ti è stato detto e ripetuto che perché l'insieme delle soluzioni sia un sottospazio il sistema deve essere omogeneo.
Questo vuol dire che i termini noti devono essere tutti nulli, quindi deve essere \( \displaystyle {a}={0} \).
Il sistema diventa:
\( \displaystyle {\left\lbrace\matrix{{x}{1}-{x}{2}+{x}{4}={0}\\{x}{1}-{2}{x}{2}-{x}{3}={0}\\{x}{2}+{x}{3}+{x}{4}={0}}\right.} \)
A questo punto basta trovare l'insieme delle soluzioni, e non servono "calcoli assurdi, impossibili, e pazzeschi".

AH................ehehe sono a bocca aperta, grazie mille ora provvedo e vediamo se riesco grazie mille