Soluzioni di un sistema lineare

[sal1989]

Stabilire al variare del parametro reale \( \displaystyle {a} \) quante soluzioni ammette il seguente sistema lineare

\( \displaystyle {\left\lbrace\matrix{{\left({a}+{1}\right)}{x}{1}-{\left({a}+{1}\right)}{x}{2}+{x}{4}=-{a}\\{x}{1}-{2}{x}{2}-{x}{3}={0}\\{{\left({a}+{1}\right)}}^{{{2}}}{x}{2}+{\left({a}+{1}\right)}{x}{3}+{x}{4}={a}}\right.} \)

b) Determinare se esistono valori di \( \displaystyle {a}\in{R} \) per il quale l'insieme delle soluzioni è un sottospazio. In tal caso scriverne una base.


Ragazzi vi chiedo aiuto anche per quest'altro esercizio, non riesco bene a capire come risolvere il punto b...Grazie mille...

[gugo82]

@sal1989: Ti ricordo che sei già stato richiamato da un moderatore; ti consiglio vivamente di rileggere il regolamento (soprattutto 1.2-1.4) e questo avviso.

[sal1989]

@sal1989: Ti ricordo che sei già stato richiamato da un moderatore; ti consiglio vivamente di rileggere il regolamento (soprattutto 1.2-1.4) e questo avviso.

Il richiamo che mi è stato fatto era per il titolo di un altro post ma ho immediatamente risolto, e poi non sono uno sprovveduto...prima di scrivere l'esercizio ho provato a farlo per i fatti miei ma non riuscendo ad andare avanti posto direttamente l'esercizio nella speranza che qualcuno mi aiuti.
Trovo molto utile questo forum, ma no di certo per AUTO prendermi in giro pensando che qualcuno che mi aiuti nella risoluzione di un esercizio senza averci prima sbattuto la testa per i fatti miei significa averlo davvero risolto.
Non fermarti solo al fatto che ho messo un esercizio, senza mettere il mio "sforzo" ...perchè posso garantirti che dietro ad ogni esercizio che ho messo ci sono ore e ore di sforzo...e due rimandature nell'esame di Geometria....quindi cortesementre prima di darmi dello sprovveduto, prova ad intuire che se un 20enne è arrivato ad utilizzare un forum per risolvere i suoi dubbi...è perchè non ha "altra scelta" o meglio ha molte difficoltà e allora le prova tutte, no di certo per passatempo. Grazie.

[sal1989]

Stabilire al variare del parametro reale \( \displaystyle {a} \) quante soluzioni ammette il seguente sistema lineare

\( \displaystyle {\left\lbrace\matrix{{\left({a}+{1}\right)}{x}{1}-{\left({a}+{1}\right)}{x}{2}+{x}{4}=-{a}\\{x}{1}-{2}{x}{2}-{x}{3}={0}\\{{\left({a}+{1}\right)}}^{{{2}}}{x}{2}+{\left({a}+{1}\right)}{x}{3}+{x}{4}={a}}\right.} \)

b) Determinare se esistono valori di \( \displaystyle {a}\in{R} \) per il quale l'insieme delle soluzioni è un sottospazio. In tal caso scriverne una base.

Allora ragazzi riuscite ad aiutarmi gentilmente?...sono riuscito a stabilire quante soluzioni ammette ma non capisco come si fa il punto b...non capisco se bisogna trovare l'insieme delle soluzioni ( che variano in base ad \( \displaystyle {a} \) ) oppure sostituire la a che mi determino quando il sistema è compatibile, e poi successivamente non ho idea di come posso verificare che è un sottospazio...pur sapendo come si verifica.... -.-^ aiutatemi

[Lorin]

Beh potresti ragionare sul fatto che l'insieme delle soluzione di un sistema lineare è un sottospazio, meglio ancora se il sistema è omogeneo.

[sal1989]

Beh potresti ragionare sul fatto che l'insieme delle soluzione di un sistema lineare è un sottospazio, meglio ancora se il sistema è omogeneo.

Quindi se il sistema è omogeneo ho certezza che l'insieme delle soluzioni è un sottospazio?

[cirasa]

Sì, se il sistema è omogeneo l'insieme delle soluzioni è un sottospazio.
Viceversa se l'insieme delle soluzioni è un sottospazio, allora il vettore nullo vi appartiene e il vettore nullo è soluzione solo di sistemi lineari omogenei.
Pertanto dato un sistema lineare ad \( \displaystyle {n} \) incognite, l'insieme delle soluzioni è un sottospazio di \( \displaystyle {\mathbb{R}}^{{n}} \) se e solo se il sistema è omogeneo.

[gugo82]

[OT, in risposta ad alcune obiezioni sul mio richiamo]

@ sal1989:

@sal1989: Ti ricordo che sei già stato richiamato da un moderatore; ti consiglio vivamente di rileggere il regolamento (soprattutto 1.2-1.4) e questo avviso.

Il richiamo che mi è stato fatto era per il titolo di un altro post ma ho immediatamente risolto, e poi non sono uno sprovveduto...prima di scrivere l'esercizio ho provato a farlo per i fatti miei ma non riuscendo ad andare avanti posto direttamente l'esercizio nella speranza che qualcuno mi aiuti.
Trovo molto utile questo forum, ma no di certo per AUTO prendermi in giro pensando che qualcuno che mi aiuti nella risoluzione di un esercizio senza averci prima sbattuto la testa per i fatti miei significa averlo davvero risolto.
Non fermarti solo al fatto che ho messo un esercizio, senza mettere il mio "sforzo" ...perchè posso garantirti che dietro ad ogni esercizio che ho messo ci sono ore e ore di sforzo...e due rimandature nell'esame di Geometria....quindi cortesementre prima di darmi dello sprovveduto, prova ad intuire che se un 20enne è arrivato ad utilizzare un forum per risolvere i suoi dubbi...è perchè non ha "altra scelta" o meglio ha molte difficoltà e allora le prova tutte, no di certo per passatempo. Grazie.

Calmo ragazzo.
Ti ho solo richiamato all'ordine; di certo non ti ho esposto a pubblico ludibrio, né ho mai detto che tu sia "uno sprovveduto", né tantomeno ho mai espresso giudizi riguardo la tua persona. Ti assicuro che hai fatto tutto da solo nella risposta citata.

Qui il problema non è se tu hai perso o meno tempo dietro un esercizio: questa è una questione che riguarda la tua coscienza di studente.
Il problema è che su questo forum vigono un regolamento ed una netiquette (i quali danno indicazioni ben precise sul modo in cui è conveniente porre questioni all'attenzione della community) e che tu hai disatteso tali regole.

Non capisco cosa tu abbia da lamentarti se io, facendo il mio dovere, ti ho ricordato che quelle regole esistono.

[/OT]

[Sergio]

b) Determinare se esistono valori di \( \displaystyle {a}\in{R} \) per il quale l'insieme delle soluzioni è un sottospazio. In tal caso scriverne una base.
Ragazzi vi chiedo aiuto anche per quest'altro esercizio, non riesco bene a capire come risolvere il punto b...Grazie mille...

Scusami, ma c'è poco da alberarsi. Gugo ti ha semplicemente richiamato regole che non sono solo regole di comportamento "astratte", ma servono anche a permettere a chi vuole aiutare di fornire aiuto.
Quanto al punto b, ad esempio, si potrebbero dire tante cose, cioè i tuoi problemi potrebbero essere di varia natura:
1) sai che l'insieme delle soluzioni di un sistema lineare omogeneo è un sottospazio?
2) sai che non è così con sistemi lineari non omogenei? e sai perché?
3) sai che un sistema di equazioni lineari può essere riscritto come un'applicazione lineare?
4) sai l'insieme delle soluzioni di un sistema omogeneo coincide con il nucleo di quell'applicazione, quindi con quello della matrice dei coefficienti del sistema?
5) sai trovare il nucleo di un'applicazione o di una matrice?
6) sai come trovare la base di un sottospazio definito da un sistema di equazioni?
7) sai come convertire un sistema di equazioni cartesiane in equazioni parametriche?
ecc.
Quando la regola 1.4 dice "in ogni caso indicare aspetti specifici da chiarire" invita a non chiedere (implicitamente) di sviluppare un minicorso di algebra lineare in un messaggio, ma di aiutare chi ti vuole aiutare a focalizzarsi su pochi singoli aspetti tra i tantissimi.
L'alternativa (limitarsi a risolvere l'esercizio) da un lato sarebbe contraria allo spirito, prima che al regolamento, del forum, dall'altro potrebbe essere poco utile.
Ad esempio, a che ti servirebbe una risposta del tipo:
-- l'insieme delle soluzioni è un sottospazio se \( \displaystyle {a}={0} \)
-- una base di tale sottospazio è \( \displaystyle {\left\lbrace{\left(-{1},-{1},{1},{0}\right)}\text{,}{\left(-{2},-{1},{0},{1}\right)}\right\rbrace} \)
?
Forse sarebbe meglio per te capire come ci si arriva (sempre che la soluzione sia quella corretta...), ma i modi possono essere diversi e se non indichi "aspetti specifici da chiarire" come si fa?

[sal1989]

Stabilire al variare del parametro reale \( \displaystyle {a} \) quante soluzioni ammette il seguente sistema lineare

\( \displaystyle {\left\lbrace\matrix{{\left({a}+{1}\right)}{x}{1}-{\left({a}+{1}\right)}{x}{2}+{x}{4}=-{a}\\{x}{1}-{2}{x}{2}-{x}{3}={0}\\{{\left({a}+{1}\right)}}^{{{2}}}{x}{2}+{\left({a}+{1}\right)}{x}{3}+{x}{4}={a}}\right.} \)

b) Determinare se esistono valori di \( \displaystyle {a}\in{R} \) per il quale l'insieme delle soluzioni è un sottospazio. In tal caso scriverne una base.

Per quanto riguarda la discussione, mi sono sentitio attaccato...però evidentemente ho frainteso quindi mi scuso.
Per quanto riguarda l'esercizio quello che non capisco è che dopo aver ridotto a scala la matrice associata ottengo dei valori di \( \displaystyle {a} \) per cui è verificato che il sistema è omogeneo, quindi mi determino al variare del parametro \( \displaystyle {a} \) quante soluzioni ammette il sistema facendo \( \displaystyle {\infty}^{{{\left({n}-{r}\right)}\right.}} \) dove r è il rango ed n è il numero di variabili. Ora il problema sta nel punto b, in quanto procedendo col determarmi le soluzioni ( senza quindi andare a sostituire i valori di \( \displaystyle {a} \) per cui il sistema è omogeneo ) ottengo un vettore cosi composto \( \displaystyle {\left(\matrix{{x}{1}\\{x}{2}\\{x}{3}\\{x}{4}}\right)} \) con naturalmente alcune soluzioni che variano al variare del parametro \( \displaystyle {a} \), ora quello che non capisco è...come posso verificare se è un sottospazio, e dunque scriverne una base...non capisco...