somma di divisori e numeri pentagonali

[carlo23]

dato un numero naturale positivo n > 1 definisco s(n) come la somma di tutti i divisori di n

allora

sum_[P<=n] (-1)^(k+1)*s(n+1-P) =

(-1)^a*(3a^2+a)/2 se n=(3a^2+a)/2-1 con a in Z

0 altrimenti



dove la somma è estesa a tutti i numeri pentagonali

P=(3k^2+k)/2

minori o uguali a n

i primi casi sono

n=2 s(1)-s(2)+s(3)=0

n=3 s(2)-s(4)+s(3)=0

n=4 s(3)-s(5)+s(4)=5

n=5 s(1)-s(5)+s(6)-s(4)=0

n=6 -s(2)+s(5)+s(6)-s(7)=7

n=7 -s(1)-s(3)+s(6)+s(7)-s(8)=0

qualcuno ha qualche idea di come dimostrarlo (o confutarlo)?

P.S. (spero di non aver incasinato le formule)

[TomSawyer]

Si capisce poco la prima parte. Potresti scriverla con Equation e allegarlo nel messaggio.

[carlo23]

non hai tutti i torti, ma non so come fare ad allegare un equazione a un messaggio, mi spieghi come si fa?

[carlo23]

Ho riscritto l'enunciato con MathLM spero sia più comprensibile, se \( \displaystyle \sigma{\left({n}\right)} \) è la somma dei divisori di n definisco

\( \displaystyle {M}=\sum_{{{P}_{{k}}\le{n}}}{{\left(-{1}\right)}}^{{{k}+{1}}}\sigma{\left({n}+{1}-{P}_{{k}}\right)} \)

dove

\( \displaystyle {P}_{{k}}={\frac{{{3}{{k}}^{{2}}+{k}}}{{{2}}}} \) con \( \displaystyle {k}\in{Z} \)

allora

\( \displaystyle {M}=\frac{{{3}{{a}}^{{2}}+{a}}}{{2}} \) se \( \displaystyle {n}=\frac{{{3}{{a}}^{{2}}+{a}}}{{2}}-{1} \) con \( \displaystyle {a}\in{Z} \)

\( \displaystyle {M}={0} \) altrimenti

qualcuno lo sa dimostrare?