Somma e prodotto di interi positivi - SNS 2003

[elios]

"a) Si sa che la somma di due interi positivi è 30030. Si dimostri che il loro prodotto non è divisibile per 30030.
b) E' ancora vera questa proprietà se si sostituisce il numero 30030 con 11550?
c) E, in generale, per quali numeri \( \displaystyle {a} \) il prodotto di due interi positivi con somma \( \displaystyle {a} \) è divisibile per \( \displaystyle {a} \)?"

Io l'ho risolto in questo modo:

a) \( \displaystyle {p}+{q}={30030} \), \( \displaystyle {p}={30030}-{q} \)
\( \displaystyle {p}\cdot{q}={\left({30030}-{q}\right)}\cdot{q}={30030}\cdot{q}-{{q}}^{{2}}={30030}{\left({q}-\frac{{{q}}^{{2}}}{{30030}}\right)} \), che è divisibile per 30030 solo se \( \displaystyle {q}-\frac{{{q}}^{{2}}}{{30030}} \) è un numero intero, e lo è solo se \( \displaystyle \frac{{{q}}^{{2}}}{{30030}} \) è un numero intero:
\( \displaystyle {{q}}^{{2}}={k}\cdot{30030} \), con \( \displaystyle {k} \) numero intero.
\( \displaystyle {q}=\sqrt{{{k}\cdot{30030}}} \).
Essendo \( \displaystyle {30030}={2}\cdot{3}\cdot{5}\cdot{7}\cdot{11}\cdot{13} \), il valore minimo di \( \displaystyle {k} \) per cui \( \displaystyle \sqrt{{{k}\cdot{30030}}} \) sia un numero intero è \( \displaystyle {k}={2}\cdot{3}\cdot{5}\cdot{7}\cdot{11}\cdot{13}={30030} \). Ma in tal caso \( \displaystyle {q}={30030} \), \( \displaystyle {p}={0} \), \( \displaystyle {p}\cdot{q}={0} \), che è l'unico caso per cui \( \displaystyle {p}\cdot{q} \) è divisibile per 30030. (Infatti per \( \displaystyle {k} \) maggiori al valore minimo, \( \displaystyle {q}\gt{30030} \), il che preclude l'esistenza di \( \displaystyle {p} \)).

b) Per lo stesso ragionamento dovremmo avere
\( \displaystyle {{q}}^{{2}}={k}\cdot{11550} \)
\( \displaystyle {q}=\sqrt{{{k}\cdot{11550}}} \).
Essendo \( \displaystyle {11550}={2}\cdot{3}\cdot{{5}}^{{2}}\cdot{7}\cdot{11} \), il valore minimo di \( \displaystyle {k} \) per cui \( \displaystyle \sqrt{{{k}\cdot{11550}}} \) sia un numero intero è \( \displaystyle {k}={2}\cdot{3}\cdot{7}\cdot{11} \), da cui \( \displaystyle {q}=\sqrt{{{{2}}^{{2}}\cdot{{3}}^{{2}}\cdot{{5}}^{{2}}\cdot{{7}}^{{2}}\cdot{{11}}^{{2}}}}={2}\cdot{3}\cdot{5}\cdot{7}\cdot{11}={2310} \), e \( \displaystyle {p}={9240} \), \( \displaystyle {p}\cdot{q}={21344400}={11550}\cdot{1848} \).
Quindi no, questa proprietà non è vera per 11550.

c) \( \displaystyle {p}+{q}={a} \), \( \displaystyle {p}={a}-{q} \)
\( \displaystyle {p}\cdot{q}={\left({a}-{q}\right)}\cdot{q}={a}\cdot{q}-{{q}}^{{2}}={a}{\left({q}-\frac{{{q}}^{{2}}}{{a}}\right)} \)
e per lo stesso ragionamento
\( \displaystyle {{q}}^{{2}}={k}\cdot{a} \)
\( \displaystyle {q}=\sqrt{{{k}\cdot{a}}} \)
Si ha risultato accettabile solo se \( \displaystyle {q} \) risulta diverso da \( \displaystyle {a} \), cioè se \( \displaystyle {k} \) è diverso da \( \displaystyle {a} \), sempre ottenendo che \( \displaystyle {k}\cdot{a} \) sia un quadrato perfetto. E per ottenere ciò la fattorizzazione di \( \displaystyle {a} \) deve presentare degli esponenti diversi da 1.

E' corretto? Grazie.

[adaBTTLS]

mi pare proprio di sì!

[WiZaRd]

Quoto adaBTTLS.

[elios]

Grazie mille della conferma

[adaBTTLS]

di nulla!

[stefano.c]

che cosa significa SNS 2003 ?

[WiZaRd]

Scuola Normale Superiore Anno 2003.
Ci si riferisce in particolare alla SNS di Pisa.
Questi sono dei problemi presi dai test d'ammissione a Matematica.