Somma positiva - SNS 1968

[elios]

"Dire per quali interi positivi \( \displaystyle {n} \) e per quali numeri reali \( \displaystyle {q} \) la somma \( \displaystyle {1}+{q}+{{q}}^{{2}}+\ldots+{{q}}^{{n}} \) è positiva."

Se \( \displaystyle {q}\ge{0} \) la somma data è positiva, essendo \( \displaystyle {{q}}^{{x}}\gt{0} \) per ogni \( \displaystyle {x} \) reale e \( \displaystyle {q} \) positivo, e quindi lo è indipendentemente da \( \displaystyle {n} \).
Se invece \( \displaystyle {q}\lt{0} \), la somma totale è positiva se la somma dei \( \displaystyle {{q}}^{{{2}{t}+{1}}} \) è minore, in valore assoluto, alla somma dei \( \displaystyle {{q}}^{{{2}{t}}} \).
Non so come rendere questa condizione..

Grazie dell'aiuto..

[blackbishop13]

puoi fare molto di meglio, la tua considerazione è troppo superficiale, prova a ragionare meglio, magari fare o pensare qualche grafico.

[dissonance]

Ma la fattorizzazione, valida per \( \displaystyle {q}\ne{1} \),

\( \displaystyle {1}+{q}+{{q}}^{{2}}+\ldots+{{q}}^{{{n}-{1}}}+{{q}}^{{{n}}}={\frac{{{1}-{{q}}^{{{n}+{1}}}}}{{{1}-{q}}}} \)

non ti dà informazioni?

[elios]

Partendo dalla formula suggerita da dissonance, ho la condizione \( \displaystyle \frac{{{1}-{{q}}^{{{n}+{1}}}}}{{{1}-{q}}}\gt{0} \)
- Se \( \displaystyle {q}\ge{0} \), come già osservato la somma è positiva. Infatti per \( \displaystyle {0}\lt{q}\lt{1} \) il numeratore e il denominatore della frazione studiata sono entrambi maggiori di zero, e per \( \displaystyle {q}\gt{1} \) sono entrambi minori di zero. Comunque sia, la frazione è positiva.
- Se \( \displaystyle {q}\lt{0} \), devo distinguere il caso in cui \( \displaystyle {n} \) sia pari (e allora \( \displaystyle {{q}}^{{n}} \) è positivo) e il caso in cui \( \displaystyle {n} \) sia dispari (\( \displaystyle {{q}}^{{n}} \) negativo). Comunque sia, il denominatore della frazione, cioè \( \displaystyle {1}-{q} \), è positivo.
- se \( \displaystyle {n} \) è pari, allora \( \displaystyle {n}+{1} \) è dispari, e perciò \( \displaystyle {{q}}^{{{n}+{1}}}\lt{0} \). Si ha perciò che \( \displaystyle {1}-{{q}}^{{{n}+{1}}} \) è positivo. La frazione è quindi positiva.
- se \( \displaystyle {n} \) è dispari, allora \( \displaystyle {n}+{1} \) è pari, e perciò \( \displaystyle {{q}}^{{{n}+{1}}}\gt{0} \). La frazione sarebbe positiva solo se \( \displaystyle {1}-{{q}}^{{{n}+{1}}} \) fosse maggiore di zero, ma ciò è impossibile.

Concludendo, la somma data è positiva per:
-gli \( \displaystyle {q} \) positivi, con qualunque \( \displaystyle {n} \);
-gli \( \displaystyle {q} \) negativi, con \( \displaystyle {n} \) pari.

[elios]

Che ne dite?

[blackbishop13]

quasi, perchè se \( \displaystyle {q} \) è negativo e \( \displaystyle {n} \) è dispari dici che la somma è sempre negativa?

[dissonance]

Sono d'accordo con blackbishop: prendi ad esempio \( \displaystyle {q}=-{0.5} \) e \( \displaystyle {n}={1} \). Non mi pare che \( \displaystyle {0.5}={1}-{0.5} \) sia negativo...

[†Sally†]

Sotto le condizioni n dispari e q<0 si avrà al numeratore una differenza fra un positivo e un negativo, positiva se il negativo in modulo è minore del positivo, e al denominatore necessariamente un positivo. Quindi il segno del numeratore influenza la frazione e è positivo se 0<|q|<1 e n>0...

[elios]

Ah giusto.. Allora si deve dividere il caso in cui il modulo sia maggiore o minore di 1.. Grazie mille a tutti..

PS: c'era un modo per risolverlo senza utilizzare la formula ricordata da dissonance?

[dissonance]

Penso che una strada alternativa di risoluzione sia il principio di induzione. Facciamo ad esempio il caso \( \displaystyle {\left|{q}\right|}\lt{1} \), per gli altri casi presumo si potranno fare considerazioni simili.

Denotiamo con \( \displaystyle {S}_{{n}}={1}+{q}+\ldots+{{q}}^{{n}} \). Vediamo i primi indici per farci un'idea:

\( \displaystyle {S}_{{1}}={1}\gt{0} \);
\( \displaystyle {S}_{{2}}={1}+{q}\gt{0} \) (\( \displaystyle {q} \) è troppo piccolo per trascinare \( \displaystyle {1} \) oltre lo zero);
\( \displaystyle {S}_{{3}}={1}+{q}+{{q}}^{{2}}\gt{0} \) (stiamo sommando \( \displaystyle {{q}}^{{2}} \) che è positivo a \( \displaystyle {S}_{{2}} \) che pure è positivo);
\( \displaystyle {S}_{{4}}={1}+{q}+{{q}}^{{2}}+{{q}}^{{3}}={\left({1}+{q}\right)}+{\left({{q}}^{{2}}+{{q}}^{{3}}\right)}\gt{0} \) (perché, essendo \( \displaystyle {\left|{q}\right|}\lt{1} \), \( \displaystyle {{\left|{q}\right|}}^{{3}} \) è più piccolo di \( \displaystyle {{\left|{q}\right|}}^{{2}} \), e dunque la quantità nella seconda parentesi è positiva); (*)
\( \displaystyle \vdots \)

Ci viene quindi la geniale idea: "vuoi vedere che \( \displaystyle {S}_{{n}} \) è positivo per ogni \( \displaystyle {n} \)"? Supponiamo, per ipotesi di induzione, che questo sia vero per \( \displaystyle {S}_{{1}}\ldots{S}_{{n}} \) e vediamo cosa si può dire di \( \displaystyle {S}_{{{n}+{1}}} \). C'è da distinguere due casi:

se \( \displaystyle {n}+{1} \) è pari, allora \( \displaystyle {S}_{{{n}+{1}}}={S}_{{{n}}}+{{q}}^{{{n}+{1}}} \) è positivo perché somma di \( \displaystyle {S}_{{n}} \), positivo per ipotesi di induzione, e \( \displaystyle {{q}}^{{{n}+{1}}} \), positivo perché potenza ad esponente pari;

se \( \displaystyle {n}+{1} \) è dispari, scriviamo \( \displaystyle {S}_{{{n}+{1}}}={S}_{{{n}-{1}}}+{{q}}^{{{n}}}+{{q}}^{{{n}+{1}}} \). \( \displaystyle {S}_{{{n}-{1}}} \) è positivo per ipotesi di induzione, \( \displaystyle {{q}}^{{{n}}} \) è positivo perché potenza ad esponente pari e \( \displaystyle {{q}}^{{{n}}}+{{q}}^{{{n}+{1}}} \) è positivo perché \( \displaystyle {{\left|{q}\right|}}^{{{n}+{1}}}\lt{{\left|{q}\right|}}^{{{n}}} \) (sto ripetendo il ragionamento fatto in (*)).

In conclusione \( \displaystyle {S}_{{n}}\gt{0} \) per ogni \( \displaystyle {n} \).