Somme di radici

[Angelo]

Vorrei trovare una formula esatta per il calcolo della seguente sommatoria,

\( \displaystyle {\sum_{{{i}={1}}}^{{n}}}\sqrt{{{i}}} \)

Siccome non sono riuscito a trovarla, ho provato a risolvere il problema in maniera approssimata nel seguente modo,

\( \displaystyle {\sum_{{{i}={1}}}^{{n}}}\sqrt{{{i}}}\approx\frac{{1}}{{2}}\cdot{\left[{\int_{{{0}}}^{{{n}}}}\sqrt{{{x}}}{\left.{d}{x}\right.}+{\int_{{{1}}}^{{{n}+{1}}}}\sqrt{{{x}}}{\left.{d}{x}\right.}\right]}+\alpha\cdot{\left[\sqrt{{{1}}}-\sqrt{{{0}}}+\sqrt{{{n}}}-\sqrt{{{n}+{1}}}\right]} \) (*)

Ho provato la (*) per n pari utilizzando la formula dei Cavalieri Simpson e ho ottenuto che \( \displaystyle \alpha=\frac{{1}}{{6}} \), però vorrei dimostrare la (*) anche per n dispari e inoltre vorrei ricavare una formula che stimi l'errore commesso. Esiste un altro valore di \( \displaystyle \alpha \) che minimizzi ulteriormente l'errore?

Infine sarebbe auspicabile generalizzare la (*) a una qualsiasi sommatoria \( \displaystyle {\sum_{{{i}={1}}}^{{n}}}{f{{\left({i}\right)}}} \). In questo caso che ipotesi occorrerebbe fare sulla funzione \( \displaystyle {f{{\left({x}\right)}}} \)?

Tuttavia vi chiedo di cercare una formula esatta e solo se non la trovate aiutatemi con la soluzione approssimata.

[mod="gugo82"]Ma è mai possibile che un utente con più di cento post ancora non sappia che il crossposting è vietato dal regolamento?

Chiudo tutti i thread duplicati.[/mod]

[dissonance]

Cerca "Power Sum". Ecco un esempio:

http://mathworld.wolfram.com/PowerSum.html

[Angelo]

L'esempio che poni riguarda però somme di potenze con esponente intero positivo, invece la sommatoria a cui faccio riferimento è costituita da radici quadrate, cioè da potenze con esponente pari a \( \displaystyle \frac{{1}}{{2}} \).