[teoria dei gruppi] Sottogruppi di $(QQ,+)$

[francicko]

Sia Q(+) Gruppo additivo dei numeri razionali , comunque preso un suosotoguppo non banale questo risulta essere isomorfo al gruppo Z(+) degli interi oppure isomorfo allo stesso Q(+), e' vero'?
Per esempio se prendo un generico elemento come puo' essere 1/3 ed il suo opposto -1/3 appartenenti a Q ma non a Z, questi generano un sottogruppo di Q(+) isomorfo a Z(+) che risultera' esserne a sua volta sottogruppo.

[cirasa]

Per cortesia, modifica il tuo messaggio.
E' "scortese" (oltre che vietato dal regolamento, punto 3.5) scrivere il testo tutto in maiuscolo.

[Martino]

[mod="Martino"]Anch'io ti chiedo di scrivere in minuscolo. Inoltre ti chiedo di specificare meglio il titolo.[/mod]

Quanto al problema che proponi, in rete ho trovato questo.

[j18eos]

Assolutamente no: tra \( \displaystyle (\mathbb{Q},+) \) e \( \displaystyle (\mathbb{Z},+) \) vi è un'infinità continua di sottogruppi non isomorfi a coppie; le cui classi d'isomorfia sono caratterizzabili con la teoria dei tipi!

EDIT: Non mi stò riferendo a questi "tipi" http://it.wikipedia.org/wiki/Teoria_dei_tipi ma ad altri "tipi propri di \( \displaystyle (\mathbb{Q},+) \) ".

[francicko]

Intanto chiedo scusa per aver scritto il precedente messaggio in maiuscolo e ringrazio per avermelo segnalato! Non essendo molto pratico nell'uso delle procedure sarei grato se mi spiegaste come fare a modificare il precedente messaggio da me inviato al forum per rimediare,
e quindi riscriverlo a caratteri minuscoli.

[Martino]

Intanto chiedo scusa per aver scritto il precedente messaggio in maiuscolo e ringrazio per avermelo segnalato! Non essendo molto pratico nell'uso delle procedure sarei grato se mi spiegaste come fare a modificare il precedente messaggio da me inviato al forum per rimediare,
e quindi riscriverlo a caratteri minuscoli.

Clicca sul bottone "modifica" che trovi nell'intervento.

[francicko]

sia (Q,+) gruppo additivo dei razionali, comunque preso un elemento appartenente a Q ma non a Z, sia ad esempio 1/3 tale elemento ed -1/3 il suo opposto, e' indubbio che questi elementi generano un sottogruppo ciclico infinito di (Q,+) . Tutto cio' mi aveva indotto a pensare erroneamente che ogni sottogruppo di (Q,+) fosse ciclico infinito e quindi isomorfo a
(Z,+). Riflettendo però mi ero accorto che se prendo ad esempio tutti gli elementi della forma, 0, 1,-1, 1/2, -1/2,1/4,-1/4, 1/8, -1/8,1/16,-1/16, .....ecc. ecc. , cioe' tutti quegli elementi che hanno come numeratore +1o -1 ,ed a denominatore una potenza di 2, questa classe di infiniti elementi genererebbe un sottogruppo infinito additivo di (Q,+), non isomorfo a (Z,+),(in definitiva è come considerare tutte le frazioni aventi come denominatore una potenza di due), inoltre essendo strutturato in modo che presi due suoi qualunque sottogruppi uno risulterebbe necessariamente contenuto nell'altro e quindi non strutturato come (Q,+) dove questo non succede necessariamente, e pertanto non isomorfo a (Q,+).Vorrei un parere sull'esattezza o meno dell'esposto, grazie!
Nell'attesa vi invio cordiali saluti!

[vict85]

Ogni sottogruppo finitamente generato di $QQ$ con la somma è isomorfo a $ZZ$ con la somma o al gruppo banale. La dimostrazione può essere fatta facilmente per induzione. Riguardo al fatto che se possiedono una infinità numerabile di generatori possano essere isomorfi a $QQ$ o a $ZZ$ non saprei. Ci dovrei pensare. Non sono neanche sicuro $QQ$ possieda sottogruppi propri isomorfi a se stesso.

Faccio alcune considerazioni.
1. Il tuo modo di scrivere il gruppo non mi pare molto appropriato. Il modo stanzard è $(ZZ,+)$ o semplicemente $ZZ$ quando l'operazione è chiara.
2. Dato un generatore non hai bisogno di prendere anche il suo inverso.
3. [...] commento cancellato
4. [...] commento riproposto più avanti spiegando meglio




X j18eos: non l'avevo mai sentita quella cosa. Hai per caso un link o mi puoi indicare un libro dove la posso leggere?


EDIT: il punto numero 3 è stato cancellato perché sbagliato

[j18eos]

Vict85 intendi la teoria dei tipi per classificare i sottogruppi di \( \displaystyle (\mathbb{Q},+) \) contenenti \( \displaystyle (\mathbb{Z},+) \) ?

Nel documento citato da Martino all'inizio l'autore associa una successione di numeri naturali o di \( \displaystyle +\infty \) ai sottogruppi interessati, tale è il tipo del sottogruppo di numeri razionali! La mia relatrice parla di teoria dei tipi, chiederò perché.

[Martino]

[mod="Martino"]@francicko: ti ricordo che sei tenuto a mettere il testo in minuscolo. Grazie.[/mod]