sottogruppi di Sylow nel gruppo simmetrico

[star89]

Ciao!!
vi chiedo di aiutarmi in un esercizio sui gruppi..mi blocco già al primo punto.
L'esercizio chiede di costruire un 2-sottogruppo di Sylow di \( \displaystyle {S}_{{4}} \).

So che in \( \displaystyle {S}_{{4}} \) ci sono 2-sylow di ordine \( \displaystyle {8} \) e 3-sylow di ordine \( \displaystyle {3} \)
Detti \( \displaystyle {n}_{{2}} \) e \( \displaystyle {n}_{{3}} \) il numero di 2-sylow e dei 3-sylow, applicando i teoremi si ha \( \displaystyle {n}_{{2}}={1},{3} \), \( \displaystyle {n}_{{3}}={1},{4} \).
Le varie possibilità possono essere \( \displaystyle {\left({1},{1}\right)},{\left({1},{4}\right)},{\left({3},{1}\right)},{\left({3},{4}\right)} \) ; dove le coppie sono \( \displaystyle {\left({n}_{{2}},{n}_{{3}}\right)} \).
e ora non so più a come ragionare..

in più una volta determinati \( \displaystyle {n}_{{2}} \) e \( \displaystyle {n}_{{3}} \) come li costruisco esplicitamente?..ho già letto vari post nel sito che parlano di sottogruppi di Sylow, ma ancora non capisco

[Martino]

Intanto ti consiglio di leggere qui e qui. Poi, per trovare \( \displaystyle n_3 \) comincia col contare gli elementi di ordine \( \displaystyle 3 \) , e per trovare \( \displaystyle n_2 \) ricorda che il numero di coniugati di un sottogruppo \( \displaystyle H \) di un gruppo \( \displaystyle G \) è uguale all'indice del suo normalizzante in \( \displaystyle G \) . Rifletti bene su questi spunti!

[star89]

In \( \displaystyle {S}_{{4}} \) ci sono \( \displaystyle {8} \) elementi di ordine \( \displaystyle {3} \).
quindi può essere \( \displaystyle {n}_{{3}}={4} \)..ogni 3-sottogruppo sarà formato da \( \displaystyle {2} \) elementi di ordine \( \displaystyle {3} \) e l 'identità.Giusto?

..ho continuato a riflettere ma x il momento non riesco a fare altro!

[star89]

so cos'è il normalizzante ma non saprei calcolarlo!
da ciò che ho letto dai link..(maratona problemi teoria dei gruppi), un \( \displaystyle {2} \)-Sylow di \( \displaystyle {S}_{{5}} \) è generato da tre 2-cicli, poiché ha ordine \( \displaystyle {8} \).
Se vale lo stesso ragionamento, anche se ancora non so chi è \( \displaystyle {n}_{{2}} \), un \( \displaystyle {2} \)-Sylow di \( \displaystyle {S}_{{4}} \) è generato da tre 2-cicli,o da un \( \displaystyle {2} \)-ciclo e un \( \displaystyle {4} \)-ciclo.. poiché ha sempre ordine \( \displaystyle {8} \).
Il prodotto di un 4-ciclo e un 2-ciclo darebbe luogo a un 3-ciclo..sono ammessi 3-cicli in un 2-sottogruppo?(in \( \displaystyle {S}_{{5}} \) no, ma è un fatto generale?)
Il prodotto di due 2-cicli invece da luogo a un 4-ciclo...
e ora? ho detto bagianate?

[Martino]

I 2-Sylow di \( \displaystyle S_4 \) hanno indice 3 (primo), e il loro normalizzante li contiene, quindi o i 2-Sylow sono normali oppure coincidono col loro normalizzante.

Per quanto riguarda la struttura dei 2-Sylow, ti consiglio di pensare alle azioni del gruppo diedrale di ordine 8 (cf. i link che ti ho segnalato).