sottogruppi discreti

[imholly]

ciao a tutti!
C'è qualcuno che mi sa dire come fare per dimostrare che il nucleo di un omomorfismo tra due gruppi è un sottogruppo discreto?
Grazie!!!

[Martino]

Cosa intendi per "sottogruppo discreto"?

[imholly]

H è sottogruppo discreto di G se, preso comunque un elemento x in H, esiste un intorno V di x in G tale che l'intersezione tra H e V sia costituita dal solo elemento x.

[Martino]

Quindi stai parlando di gruppi topologici?

Così come l'hai detto è falso in generale, perché l'omomorfismo \( \displaystyle {G}\to{G} \) che manda tutto in \( \displaystyle {1} \) ha come nucleo \( \displaystyle {G} \).

Ti pregherei di scrivere tutte le ipotesi sui gruppi in questione.

[imholly]

Hai ragione, non sono stata molto precisa... Dunque, vado con ordine e ti scrivo tutto l'enunciato del teorema:

sia G un gruppo di Lie connesso. Allora esiste un unico gruppo di Lie H semplicemente connesso localmente isomorfo a G. Inoltre, esiste p:G->H omomorfismo e locale isomorfismo tale che (H,p) sia un rivestimento di G. Ancora, Ker(p) è un sottogruppo normale e discreto di G, isomorfo al gruppo fondamentale di G e sta nel centro di G.

Sono riuscita a dimostrare tutto, eccetto il fatto che Ker(p) sia discreto...è probabile che per far ciò si usi l'ipotesi di locale isomorfismo, o almeno così mi pare di aver capito leggendo lo sketch della dimostrazione nel testo da cui sto studiando.

[Martino]

Io non so rispondere alla tua domanda. Quest'estate seguirò qualcosa di gruppi di Lie e rivestimenti, ma per adesso ancora non so niente. Ritornerò sull'argomento verso la fine di agosto.
Ciao

[imholly]

ok! grazie comunque per averci provato!
ciao

[vict85]

Hai ragione, non sono stata molto precisa... Dunque, vado con ordine e ti scrivo tutto l'enunciato del teorema:

sia G un gruppo di Lie connesso. Allora esiste un unico gruppo di Lie H semplicemente connesso localmente isomorfo a G. Inoltre, esiste p:G->H omomorfismo e locale isomorfismo tale che (H,p) sia un rivestimento di G. Ancora, Ker(p) è un sottogruppo normale e discreto di G, isomorfo al gruppo fondamentale di G e sta nel centro di G.

Sono riuscita a dimostrare tutto, eccetto il fatto che Ker(p) sia discreto...è probabile che per far ciò si usi l'ipotesi di locale isomorfismo, o almeno così mi pare di aver capito leggendo lo sketch della dimostrazione nel testo da cui sto studiando.

Mi sto chiedendo... Ma sei sicuro che il rivestimento non debba essere \( \displaystyle {p}:{H}\to{G} \)? Io non so i gruppi di Lie ma a occhio mi sembra più corretto così...

Non avendoli fatti non posso essere sicuro di dimostrartelo nella maniera corretta, ma ci provo...

Sai che esiste un intorno \( \displaystyle {U} \) di \( \displaystyle {1}_{{G}} \) tale che \( \displaystyle {{p}}^{{-{1}}}{U} \) è unione disgiunta di \( \displaystyle {n} \) (\( \displaystyle {n} \) grado rivestimento possibilmente anche infinito) intorni di \( \displaystyle {H} \) omeomorfi a \( \displaystyle {U} \) (è così per definizione di rivestimento). Inoltre \( \displaystyle {K}{e}{r}{\left({p}\right)}={{p}}^{{-{1}}}{1}_{{G}} \) e \( \displaystyle {\left|{K}{e}{r}{\left({p}\right)}\right|}={n}={\mid}\pi_{{1}}{\left({G},{1}_{{G}}\right)}\){\mid} \). Per ogni copia di \( \displaystyle {U} \) esisterà uno e un solo elemento di \( \displaystyle {{p}}^{{-{1}}}{1}_{{G}} \) e ogni elemento di \( \displaystyle {K}{e}{r}{\left({p}\right)} \) è contenuto in qualche intorno omeomorfo a \( \displaystyle {U} \) e quindi abbiamo trovato gli intorni disgiunti che ci servivano...

P.S: X Martino: fai un corso estivo? Dove lo fai?

[Martino]

P.S: X Martino: fai un corso estivo? Dove lo fai?

Perugia, anche tu per caso?

[vict85]

P.S: X Martino: fai un corso estivo? Dove lo fai?

Perugia, anche tu per caso?

No, ero solo curioso... Quest'anno non faccio nulla durante l'estate, forse il prossimo anno...
Ispirato a quello di Perugia c'è questo: http://www.aarms.math.ca/summer/ Ha meno corsi anche se un po' più "strani"...