Volevo parlare dei sottogruppi di Frattini e di Fitting.
Quanto segue è ben noto e trovabile in tutti i libri di teoria dei gruppi.
Ricordo che un gruppo finito si dice nilpotente se tutti i suoi sottogruppi di Sylow sono normali. In altre parole, un gruppo finito nilpotente non è altro che un prodotto diretto finito di gruppi finiti il cui ordine è una potenza di un primo. Questa non è la definizione usuale di "gruppo finito nilpotente" (quella con le serie centrali) ma si dimostra che è ad essa equivalente.
Sia \( \displaystyle G \) un gruppo. Il sottogruppo di Frattini di \( \displaystyle G \) è per definizione l'intersezione dei sottogruppi massimali di \( \displaystyle G \) (ricordo che un sottogruppo \( \displaystyle H \) di \( \displaystyle G \) si dice massimale se gli unici sottogruppi \( \displaystyle K \) di \( \displaystyle G \) con la proprietà che \( \displaystyle H \leq K \leq G \) sono \( \displaystyle H \) e \( \displaystyle G \) ). Di solito si indica con \( \displaystyle \Phi(G) \)
Esercizio 1. Sia \( \displaystyle G \) un gruppo finito, e sia \( \displaystyle X \) un sottoinsieme di \( \displaystyle G \) tale che \( \displaystyle X \cup \Phi(G) \) genera \( \displaystyle G \) . Allora \( \displaystyle X \) genera \( \displaystyle G \) .
Dati due sottogruppi \( \displaystyle H,K \) di un gruppo \( \displaystyle G \) , ricordo che \( \displaystyle HK := \{hk\ |\ h \in H,\ k \in K\} \) .
Esercizio 1.5. Se \( \displaystyle H \) e \( \displaystyle K \) sono finiti allora \( \displaystyle HK \) è finito e \( \displaystyle |HK|=\frac{|H| \cdot |K|}{|H \cap K|} \) .
In generale \( \displaystyle HK \) non è un sottogruppo di \( \displaystyle G \) . Però...
Esercizio 2. Siano \( \displaystyle G \) un gruppo, \( \displaystyle H,K \) due suoi sottogruppi. Allora \( \displaystyle HK \) è un sottogruppo di \( \displaystyle G \) se e solo se \( \displaystyle HK=KH \) . In particolare questo vale se uno tra \( \displaystyle H \) e \( \displaystyle K \) è normale in \( \displaystyle G \) . Se \( \displaystyle H \) e \( \displaystyle K \) sono entrambi normali allora \( \displaystyle HK \) è anch'esso normale.
Esercizio 3. Sia \( \displaystyle G \) un gruppo. Allora \( \displaystyle \Phi(G) \) è un sottogruppo normale di \( \displaystyle G \) (e anzi caratteristico). Inoltre se \( \displaystyle H \) è un sottogruppo di \( \displaystyle G \) tale che \( \displaystyle H \Phi(G) = G \) allora \( \displaystyle H=G \) .
Esercizio 4 (Argomento di Frattini). Sia \( \displaystyle G \) un gruppo finito, e sia \( \displaystyle N \) un suo sottogruppo normale. Sia \( \displaystyle P \) un sottogruppo di Sylow di \( \displaystyle N \) . Allora \( \displaystyle N_G(P)N=G \) (qui \( \displaystyle N_G(P) \) denota il normalizzante di \( \displaystyle P \) in \( \displaystyle G \) , cioè l'insieme dei \( \displaystyle g \in G \) tali che \( \displaystyle g^{-1}Pg=P \) - si tratta di un sottogruppo di \( \displaystyle G \) contenente \( \displaystyle P \) e ovviamente \( \displaystyle P \unlhd N_G(P) \) ). [prendere \( \displaystyle g \in G \) e osservare che \( \displaystyle g^{-1}Pg \) e \( \displaystyle P \) sono contenuti in \( \displaystyle N \) e coniugati in \( \displaystyle N \) (per Sylow)].
Esercizio 5. Sia \( \displaystyle G \) un gruppo finito, e sia \( \displaystyle P \) un sottogruppo di Sylow di \( \displaystyle \Phi(G) \) . Allora \( \displaystyle N_G(P)=G \) , cioè \( \displaystyle P \) è normale in \( \displaystyle G \) . [usare gli esercizi precedenti]. In particolare \( \displaystyle P \unlhd \Phi(G) \) . In particolare \( \displaystyle \Phi(G) \) è un gruppo nilpotente.
Quindi se \( \displaystyle G \) è un gruppo finito allora \( \displaystyle \Phi(G) \) è un sottogruppo normale nilpotente di \( \displaystyle G \) . Ma esiste un sottogruppo universale rispetto a queste due proprietà? In altre parole, è vero che il sottogruppo generato dai sottogruppi normali nilpotenti è normale e nilpotente? La risposta è sì.
Dato un gruppo finito \( \displaystyle G \) e un divisore primo \( \displaystyle p \) dell'ordine di \( \displaystyle G \) , definiamo \( \displaystyle O_p(G) \) come l'intersezione di tutti i \( \displaystyle p \) -sottogruppi di Sylow di \( \displaystyle G \) .
Esercizio 6. Sia \( \displaystyle G \) un gruppo finito, e sia \( \displaystyle p \) un divisore primo di \( \displaystyle |G| \) . Allora \( \displaystyle O_p(G) \) è un sottogruppo normale di \( \displaystyle G \) . Detti \( \displaystyle p_1,...,p_k \) i divisori primi distinti di \( \displaystyle |G| \) , il prodotto \( \displaystyle O_{p_1}(G) ... O_{p_k}(G) \) è un sottogruppo normale nilpotente di \( \displaystyle G \) . Si chiama sottogruppo di Fitting, e si indica con \( \displaystyle F(G) \) .
Osserviamo che \( \displaystyle F(G) \) è il prodotto diretto interno degli \( \displaystyle O_p(G) \) .
Esercizio 7. Siano \( \displaystyle G \) un gruppo finito, \( \displaystyle N \) un sottogruppo normale nilpotente di \( \displaystyle G \) . Allora \( \displaystyle N \subseteq F(G) \) . [prendere un sottogruppo di Sylow di \( \displaystyle N \) e dimostrare che è normale in \( \displaystyle G \) , poi prendere un sottogruppo di Sylow di \( \displaystyle G \) che lo contiene (ricordando che in generale ogni p-sottogruppo e' contenuto in un p-sottogruppo di Sylow)...]
Segue dall'esercizio 7 una cosa a priori non evidente: il prodotto di due sottogruppi normali nilpotenti di un gruppo finito è un sottogruppo normale nilpotente.
In altre parole il sottogruppo di Fitting ha la seguente proprietà universale: è un sottogruppo normale nilpotente e contiene tutti i sottogruppi normali nilpotenti (è quindi generato da essi, essendo uno di essi). In particolare contiene \( \displaystyle \Phi(G) \) .
Buon divertimento
