Sottogruppi

[Claudia87an]

Se considero il gruppo delle permutazioni di 7 elementi.
Perchè non possono esserci sottogruppi di cardinalità 9?

[perplesso]

Perchè non possono esserci sottogruppi di cardinalità 9?

Ciao, forse mi sbaglio ma non vedo nessun motivo per cui non potrebbero esserci sottogruppi di ordine 9, anzi credo di averne anche trovato uno, questo

\( \displaystyle \lt{\left({123}\right)},{\left({456}\right)}\gt={\left\lbrace{1},{\left({123}\right)},{{\left({123}\right)}}^{{2}},{\left({456}\right)},{{\left({456}\right)}}^{{2}},{\left({123}\right)}{\left({456}\right)},{{\left({123}\right)}}^{{2}}{\left({456}\right)},{\left({123}\right)}{{\left({456}\right)}}^{{2}},{{\left({123}\right)}}^{{2}}{{\left({456}\right)}}^{{2}}\right\rbrace} \)

Forse volevi dire permutazioni di periodo (ordine) 9 ?

[Claudia87an]

Si, credo che l'esercizio intenda sotogruppi ciclici di ordine 9.
In questo caso come potri fare, visto che 9 divide 7! e non posso applicare il teorema di Lagrange?

[perplesso]

In questo caso è semplice, ricorda che l'ordine di una permutazione è il minimo comune multiplo delle lunghezze dei suoi cicli disgiunti. Quindi l'unica possibilità per avere un permutazione di periodo 9 è quella di cercare un 9-ciclo in \( \displaystyle {S}_{{7}} \) , cosa assurda.

[Claudia87an]

ok! Grazie!