Sottogruppo ciclico di permutazioni in \( \displaystyle {S}_{{n}} \)

[Neptune]

Si effettivamente mi sono confuso e ho detto una cosa errata. Rivedendo alcuni esercizi avete ragione. Ovviamente si è qui per confrontarsi ed ovviamente eliminare dubbi, quindi spero non l'abbiate presa come "un offesa", ma semplicemente avevo notato "che c'era discordanza tra quello che sapevo e ciò che stava scritto".

Ad ogni modo ho fatto un esercizio riguardo \( \displaystyle {Z}_{{13}} \) privato dello zero e con l'operazione moltiplicativa.
Mi trovavo infatti che la cardinalità è \( \displaystyle {12} \), tutti i divisori erano \( \displaystyle {1},{2},{3},{4},{6},{12} \) e quindi non ho fatto altro che trovarmi degli elementi che avessero quel periodo per potermi genera dei sottogruppi con quelle cardinalità. Ovvero, in \( \displaystyle {Z}_{{13}} \) privato dell'asterisco ho preso \( \displaystyle \lt{1}\gt,\lt{12}\gt,\lt{3}\gt,\lt{5}\gt,\lt{4}\gt,\lt{2}\gt.\lt{b}\frac{{r}}{\gt}{P}{o}{i}{d}{a}{l}{i}{f{{a}}}{c}{e}{n}{d}{o}{m}{i}\le{p}{o}{t}{e}{n}{z}{e}{r}{i}{u}{s}{c}{i}{v}{o}{a}\cap{i}{r}{e}{q}{u}{a}{l}'{e}{r}{a}{i}{l}{s}{o}{\mathtt{{o}}}{g{{r}}}{u}{p}{p}{o}{c}{h}{e}{o}{g{\nu}}{n}{o}{d}{i}{e}{s}{s}{i}\ge\ne{r}{a}{v}{a}.\lt{b}\frac{{r}}{\gt}\lt{b}\frac{{r}}{\gt}{I}{n}{\vec{{e}}},{s}{e}{v}{o}\le{s}{s}{i}{o}{p}{e}{r}{a}{r}{e}{s}{\underline{{l}}}{a}{p}{e}{r}\mu{t}{a}{z}{i}{o}\ne{d}{a}{v}{o}{i}\propto{o}{s}{t}{a},{c}{o}{m}{e}{\det{\to}},{p}{r}{e}{n}{d}{i}{a}{m}{o}{i}\div{i}{s}{\quad\text{or}\quad}{i}\partial{p}{e}{r}{i}{o}{d}{o}{d}{i} \)f\( \displaystyle {c}{h}{e}è{4},{o}\vee{e}{r}{o} \)1,2,4\( \displaystyle \lt{b}\frac{{r}}{\gt}\lt{b}\frac{{r}}{\gt}{A}{\mathbf{{i}}}{a}{m}{o}{3}{s}{o}{\mathtt{{o}}}{g{{r}}}{u}{p}\pi.\lt{b}\frac{{r}}{\gt}\lt{b}\frac{{r}}{\gt}{Q}{u}\in{d}{i}{t}{u}{\mathtt{{a}}} \)f\( \displaystyle {h}{a}{\quad\text{or}\quad}{d}\in{e}{4},{p}{e}{r}{i}{l}{p}{u}{n}\to\prec{e}{d}{e}{n}{t}{e};\lt{b}\frac{{r}}{\gt}{L}'{i}{d}{e}{n}{t}{i}{t}àè{l}'{u}{n}{i}{c}{a}{c}{h}{e}{h}{a}{\quad\text{or}\quad}{d}\in{e}{1};\lt{b}\frac{{r}}{\gt}\lt{b}\frac{{r}}{\gt}{M}{a}{p}{e}{r}{c}{a}{l}{c}{o}{l}{a}{r}{e}{q}{u}{e}{l}{l}{a}{c}{o}{n}{c}{a}{r}{d}\in{a}{l}{i}{t}à{2},{c}{o}{m}{e}{a}{v}{e}{t}{e}{f{{a}}}{\mathtt{{o}}}?{c}{i}{o}è{p}{e}{r}{c}{h}è \)f^2\( \displaystyle {h}{a}{c}{a}{r}{d}\in{a}{l}{i}{t}à{2}?\ne{l}{s}{e}{n}{s}{o},{c}{o}{m}{e}{a}{v}{e}{t}{e}{f{{a}}}{\mathtt{{o}}}{a}{r}{i}{c}{a}{v}{a}{r}{v}{e}{l}{a}?{a}{v}{e}{t}{e}{s}{e}{m}{p}{l}{i}{c}{e}{m}{e}{n}{t}{e}{f{{a}}}{\mathtt{{o}}} \)f o f$ e avete visto che ha periodo 2? o c'è una formula per ricavarlo?

P.S: Vi ho riscritto il procedimento per vedere se questa volta ho ben inteso tutto;
P.P.S: In una permutazione, ordine, cardinalità nonchè periodo, sono la stessa cosa? no? quando si utilizzano in maniera piu appropriata i tre termini?

[vict85]

Beh, esiste un isomorfismo tra quel sottogruppo e \( \displaystyle \mathbb{Z}_4 \) con la somma.

[Neptune]

Beh, esiste un isomorfismo tra quel sottogruppo e \( \displaystyle \mathbb{Z}_4 \) con la somma.

Questo perchè? ogni gruppo ciclo è isomorfo ad un gruppo \( \displaystyle {\left(\mathbb{Z}_{{4}},+\right)} \) ?

In piu ho trovato un esercizio svolto sulle permutazioni di \( \displaystyle {S}_{{3}} \) ovvero le permutazioni sul gruppo \( \displaystyle {\left\lbrace{1},{2},{3}\right\rbrace} \).
Nel vedere i sottogruppi, nel creare il gruppo di cardinalità \( \displaystyle {2} \) dice "essendo \( \displaystyle {2} \) primo allora i sottogruppi (sono piu di uno) sono ciclici e sono generati da un elemento di periodo 2".

Cosa significa? cioè se si parla di permutazioni non si parla già di gruppi ciclici? al massimo "a cicli disgiunti"?
Perchè dovrebbero esserci piu di due gruppi di periodo \( \displaystyle {2} \) ? per lagrange non dovrebbe essere solo uno?

[Paolo90]

Beh, esiste un isomorfismo tra quel sottogruppo e \( \displaystyle \mathbb{Z}_4 \) con la somma.

Questo perchè? ogni gruppo ciclo è isomorfo ad un gruppo \( \displaystyle {\left(\mathbb{Z}_{{4}},+\right)} \) ?

Esistono - a meno di isomorfismi - solo due gruppi di ordine 4.
Uno è per l'appunto quello ciclico (il modello è \( \displaystyle \mathbb{Z}_{{4}} \)), l'altro è il trirettangolo (anche noto come gruppo di Klein, mi pare).

Inoltre, tutti i gruppi ciclici con lo stesso ordine sono isomorfi.

[Neptune]

E riguardo alla seconda affermazione? non riesco davvero a trarne il senso. Sarà che è giusto "un appunto" e fuori dal contesto non riesco a capirlo.

[Paolo90]

Occhio.

Mi sa che stai confondendo il concetto di gruppo ciclico con i gruppi simmetrici. Riguardati un attimo la teoria con calma.

[Neptune]

Occhio.

Mi sa che stai confondendo il concetto di gruppo ciclico con i gruppi simmetrici. Riguardati un attimo la teoria con calma.

Quindi dici che non ha senso quella frase?

[Paolo90]

Questa frase secondo me non ha senso:

se si parla di permutazioni non si parla già di gruppi ciclici? al massimo "a cicli disgiunti"?

Un conto è \( \displaystyle {S}_{{n}} \), il gruppo delle permutazioni di \( \displaystyle {n} \) elementi (e a questo si può riferire la locuzione "a cicli disgiunti").

Tutta un'altra questione sono i gruppi ciclici (quelli in cui esiste un elemento che "genera" il gruppo).