Sottogruppo ciclico di permutazioni in \( \displaystyle {S}_{{n}} \)

[xsl]

Salve ragazzi,

ho risolto l'esercizio che vi pongo di seguito e vorrei sapere se l'ho fatto bene!

Esercizio:
E' assegnata la permutazione di \( \displaystyle {S}_{{7}} \)

\( \displaystyle {f{=}}{\left(\matrix{{1}{2}{3}{4}{5}{6}{7}\\{5}{7}{6}{4}{1}{2}{3}}\right)} \)

(a)determinare il sottogruppo ciclico \( \displaystyle \lt{f{\gt}} \) di \( \displaystyle {S}_{{7}} \) generato da \( \displaystyle {f} \)
(b)determinare l'insieme dei sottogruppi di \( \displaystyle \lt{f{\gt}} \)
(c)tracciare il diagramma di hasse ordinato per inclusione dell'insieme dei sottogruppi e determinare gli eventuali complementi degli elementi

- Risoluzione (a):
Ho scomposto in cicli disgiunti \( \displaystyle {f{=}}{\left({15}\right)}{\left({2}{7}{3}{6}\right)} \)
dunque \( \displaystyle {o}{\left({f}\right)}={m}.{c}.{m}{\left({2},{4}\right)}={4} \) e così conosco il suo ordine;
a questo punto applicando la definizione di sottogruppo generato so che
\( \displaystyle \lt{f{\gt}}={\left\lbrace{i}{d},{f},{{f}}^{{2}},{{f}}^{{3}}\right\rbrace} \)

- Risoluzione (b):
Per determinare l'insieme dei sottogruppi devo considerare i divisori dell'ordine di \( \displaystyle {f} \), quindi:
\( \displaystyle {k}={1},{2},{4} \) (sono le potenze in base alle quali vado poi a calcolare i sottogruppi)
il sottogruppo \( \displaystyle {H}_{{1}}={\left\lbrace{i}{d}\right\rbrace} \)
il sottogruppo \( \displaystyle {H}_{{2}}={\left\lbrace{i}{d},{{f}}^{{2}}\right\rbrace} \)
infine il sottogruppo \( \displaystyle {H}_{{4}}=\lt{f{\gt}} \)

Spero sia corretto fin qui.

- Risoluzione (c):
Applicando la definizione di complemento mi risulta che nessun elemento del diagramma ha complementi, quindi di conseguenza non potrà mai trattarsi di un reticolo di Boole.

Cosa ne pensate?

[vict85]

Penso sia corretto.

[Neptune]

Scusate se mi intrometto, vorrei chiedere delucidazione sul punto B).
Perchè si considerano solo i divisori dell'ordine di F? Non si prendono tutte? oppure sono io che faccio confusione?
Qualcuno potrebbe citarmi la regola a tal proposito?

[vict85]

Scusate se mi intrometto, vorrei chiedere delucidazione sul punto B).
Perchè si considerano solo i divisori dell'ordine di F? Non si prendono tutte? oppure sono io che faccio confusione?
Qualcuno potrebbe citarmi la regola a tal proposito?

Beh, un gruppo ciclico di ordine 4 ha solo il sottogruppo banale e il sottogruppo di ordine 2. E poi tutto di cosa?

[Paolo90]

Penso Neptune si riferisca al teorema di Lagrange.

Sì, Neptune, esiste una "regola" (che appunto si chiama th. di Lagrange) che dice che, dato un gruppo \( \displaystyle {G} \) di ordine \( \displaystyle {g} \), l'ordine di ogni suo sottogruppo è un divisore di \( \displaystyle {g} \).

Quindi, un gruppo di ordine 4 può avere un sottogruppo di ordine 1, uno di ordine 2 e uno di ordine 4. Nota che ho detto "può": infatti, Lagrange non dice nulla circa l'esistenza di detti sottogruppi; dice che se esistono allora hanno come ordine un divisore di \( \displaystyle {g} \).

Prova a rispondere a questa semplice domanda, per vedere se hai capito: un gruppo di ordine \( \displaystyle {1325} \) può avere un sottogruppo di ordine \( \displaystyle {2} \)?

[Neptune]

Scusate se mi intrometto, vorrei chiedere delucidazione sul punto B).
Perchè si considerano solo i divisori dell'ordine di F? Non si prendono tutte? oppure sono io che faccio confusione?
Qualcuno potrebbe citarmi la regola a tal proposito?

Beh, un gruppo ciclico di ordine 4 ha solo il sottogruppo banale e il sottogruppo di ordine 2. E poi tutto di cosa?

Come hai detto anche tu, \( \displaystyle {f} \), di ordine 4, sarà composto da quattro elementi ovvero \( \displaystyle {f{=}}{\left\lbrace{i}{d},{{f}}^{{1}},{{f}}^{{2}},{{f}}^{{3}}\right\rbrace} \), quindi se vogliamo dedurre dei sottogruppi di F, potremmo avere, a mio dire:

\( \displaystyle {h}_{{1}}={f} \) ovvero dei sottogruppi "Banali" di cui uno è "lo stesso \( \displaystyle {f} \) ed uno è l'identità;

Potremmo avere un sottogruppo di un singolo elemento, ovvero contenente solo \( \displaystyle {{f}}^{{2}} \) ed \( \displaystyle {{f}}^{{3}} \)

Potremmo avere un sottogruppo composto da che ti devo dire \( \displaystyle {\left\lbrace{{f}}^{{1}},{{f}}^{{2}}\right\rbrace} \) o \( \displaystyle {\left\lbrace{{f}}^{{2}},{{f}}^{{3}}\right\rbrace} \).

Quindi abbimo 2 possibili sottogruppi banali, \( \displaystyle {f},{i}{d} \);
Poi abbiamo 2 possibili sottogruppi di due elmenti;

Ovvero abbiamo 4 possibili sottogruppi.. o no?

[Neptune]

Penso Neptune si riferisca al teorema di Lagrange.

Sì, Neptune, esiste una "regola" (che appunto si chiama th. di Lagrange) che dice che, dato un gruppo \( \displaystyle {G} \) di ordine \( \displaystyle {g} \), l'ordine di ogni suo sottogruppo è un divisore di \( \displaystyle {g} \).

Quindi, un gruppo di ordine 4 può avere un sottogruppo di ordine 1, uno di ordine 2 e uno di ordine 4. Nota che ho detto "può": infatti, Lagrange non dice nulla circa l'esistenza di detti sottogruppi; dice che se esistono allora hanno come ordine un divisore di \( \displaystyle {g} \).

Prova a rispondere a questa semplice domanda, per vedere se hai capito: un gruppo di ordine \( \displaystyle {1325} \) può avere un sottogruppo di ordine \( \displaystyle {2} \)?

Riguardando il teorema di lagrange sugli appunti ho che:

Se ho un gruppo finito di cardinalità \( \displaystyle {n} \) allora la cardinalità di ogni suo sottogruppo sarà divisore di \( \displaystyle {n} \);

Poi ho anche il teorema inverso di lagrange, che invece vale solo per i gruppi ciclici, che dice:

Ovvero che se un gruppo e ciclico allora vige anche la proprietà inversa a quella sopra descritta ovvero:

\( \displaystyle \forall{m}\in\mathbb{N} \) con \( \displaystyle {m}{\mid}{n} \)
esiste un solo sottogruppo t.c la sua cardinalità sia \( \displaystyle {m} \)

Quindi possiamo affermare, per lagrange, che ogni gruppo potrà avere sottogruppi con cardinalità pari ad un divisore della sua; Mentre per il teorema inverso, se un gruppo e ciclico possiamo affermare che non esistono piu sottogruppi diversi con la stessa cardinalità?

ma, come ho già proposto nel caso specificio, di cardinalità 2, non abbiamo comunque i sottogruppi:

\( \displaystyle {\left\lbrace{{f}}^{{1}},{{f}}^{{2}}\right\rbrace},{\left\lbrace{{f}}^{{2}},{{f}}^{{3}}\right\rbrace} \) come anche, ora che ci penso \( \displaystyle {\left\lbrace{{f}}^{{1}},{{f}}^{{3}}\right\rbrace} \) ? cosa c'è "di sbagliato" in questi sottogruppi? benchè effettivamente sarebbe piu utile vedere ogni elemento com'è composto per capirlo al meglio.

[Paolo90]

Stando ai miei conti \( \displaystyle {{f}}^{{2}}={\left({23}\right)}{\left({67}\right)} \) e \( \displaystyle {{f}}^{{3}}={\left({15}\right)}{\left({2637}\right)} \): se fai \( \displaystyle {{f}}^{{2}}\circ{{f}}^{{3}} \) trovi \( \displaystyle {f} \).

Quindi non può esistere un sottogruppo con solo \( \displaystyle {{f}}^{{2}} \) e \( \displaystyle {{f}}^{{3}} \): non avresti la stabilità, visto che il loro composto non sta lì dentro.

Fai attenzione: non tutte le combinazioni di elementi del gruppo formano un sottogruppo!

[Paolo90]

D'altra parte quel gruppo \( \displaystyle \lt{f{\gt}} \) è ciclico per la sua stessa costruzione e di ordine quattro, quindi è isomorfo a \( \displaystyle \mathbb{Z}_{{4}} \) (puoi anche determinare l'isomorfismo: mandi \( \displaystyle {{f}}^{{i}} \) nella classe individuata da \( \displaystyle {i} \)).

Quindi, \( \displaystyle {{f}}^{{2}}\circ{{f}}^{{3}} \) è come fare \( \displaystyle {2}+{3}={5}={1} \) in \( \displaystyle \mathbb{Z}_{{4}} \).
E infatti \( \displaystyle {\left\lbrace{2},{3}\right\rbrace} \) non è un sottogruppo di \( \displaystyle \mathbb{Z}_{{4}} \).

[vict85]

\( \displaystyle {h}_{{1}}={f} \) ovvero dei sottogruppi "Banali" di cui uno è "lo stesso \( \displaystyle {f} \) ed uno è l'identità;

Di banale c'é solo l'identità. L'altro si dice improprio. Ti conviene abituarti a chiamarli così altrimenti non capirai quando si parla di sottogruppo propri non banale e simili... id non è molto usato (perché è composto da 2 lettere). E' preferibile l'uso della lettera \( \displaystyle e \) o di \( \displaystyle 1 \) .

Potremmo avere un sottogruppo di un singolo elemento, ovvero contenente solo \( \displaystyle {{f}}^{{2}} \) ed \( \displaystyle {{f}}^{{3}} \)

No, affatto. L'unico sottogruppo di un solo elemento è l'identità. Perché se il sottogruppo generato da un elemento \( \displaystyle g \) è \( \displaystyle \{g\} \) allora \( \displaystyle g^2 = g \rightarrow g=e \)

Potremmo avere un sottogruppo composto da che ti devo dire \( \displaystyle {\left\lbrace{{f}}^{{1}},{{f}}^{{2}}\right\rbrace} \) o \( \displaystyle {\left\lbrace{{f}}^{{2}},{{f}}^{{3}}\right\rbrace} \).

Il fatto che un sottogruppo deve contenere l'identità te lo sei dimenticato da qualche parte? Senza dubbio poi \( \displaystyle ff^2 = f^3 \) e dato che supponiamo che siano elementi tutti diversi...

Quindi abbimo 2 possibili sottogruppi banali, \( \displaystyle {f},{i}{d} \);
Poi abbiamo 2 possibili sottogruppi di due elmenti;

Ovvero abbiamo 4 possibili sottogruppi.. o no?

no... affatto... Al massimo puoi dire che i possibili sottogruppi sono \( \displaystyle \langle e\rangle, \langle f\rangle, \langle f^2\rangle, \langle f^3\rangle \) . E \( \displaystyle \langle e\rangle = \{e\} \) , \( \displaystyle \langle f\rangle = \langle f^{-1}\rangle = \langle f^3\rangle \) , quindi rimane \( \displaystyle \langle f^2\rangle \) che è uguale a \( \displaystyle \{e, f^2\} \)