sottogruppo S16 e contenente..

[Rolly92]

Ciao Raga:)potreste dirmi come risolvere il secondo punto del primo esercizio please ? http://www.dm.uniba.it/~barile/Rete/Tra ... cia_30.pdf Ho trovato che l'intersezione tra i due sottogruppi ciclici è uguale proprio a < seconda permutazione> ed ora??

[vict85]

Ok, se non ho fatto i calcoli sbagliati risulta \(\displaystyle \tau = \sigma^{70} \) e quindi \(\displaystyle \langle\sigma \rangle \cap \langle\tau \rangle = \langle\tau \rangle \). Sono stanco quindi controlla...

Riguardo al secondo punto devi trovare un sottogruppo di ordine 24 che contiene \(\displaystyle \langle\tau\rangle \). Tanto per incominciare \(\displaystyle |\langle\tau\rangle| = o(\tau) = 12 \).

Siccome non mi viene niente di meglio direi che puoi semplicemente considerare il sottogruppo \(\displaystyle \langle (1,2) \rangle\times \langle \tau \rangle = \langle (1,2), \tau \rangle\). Ho scritto la prima forma per esprimere meglio che è isomorfo a \(\displaystyle \mathbb{Z}_2\times\mathbb{Z}_{12} \).

Dubbi?

[Rolly92]

Scusami ma non capisco il perchè di "considerare il sottogruppo ⟨(1,2)⟩×⟨τ⟩=⟨(1,2),τ⟩. Ho scritto la prima forma per esprimere meglio che è isomorfo a Z2×Z12"..:S

[vict85]

Semplicemente perché \(\displaystyle (1,2) \) commuta con \(\displaystyle \tau \) (cicli disgiunti) quindi il gruppo generato dai due elementi è il prodotto diretto del sottogruppo \(\displaystyle \langle(1,2)\rangle \) e di \(\displaystyle \langle\tau\rangle \). L'ordine è dato dall'ordine dei due elementi moltiplicati tra di loro.

In pratica io posso scrivere un elemento \(\displaystyle g\in \langle(1,2), \tau \rangle \) come \(\displaystyle (1,2)^{\varepsilon}\tau^n \) con \(\displaystyle \varepsilon \in \{0, 1\} \) e \(\displaystyle 0 < n < 12 \). È evidente quindi che ci sono 12 possibilità.

P.S: usa le formule

[Rolly92]

Ma n può essere anche = 0,giusto?! quindi ce ne sono proprio 24 non 12 o sbaglio? Eh non ho capito in ke senso commuta (1,2) con tau.. vuol dire ke (1,2) è l'unico gruppo ke moltiplicato per tau fà si ke il prodotto dia commutativo?

[vict85]

Ma n può essere anche = 0,giusto?! quindi ce ne sono proprio 24 non 12 o sbaglio? Eh non ho capito in ke senso commuta (1,2) con tau.. vuol dire ke (1,2) è l'unico gruppo ke moltiplicato per tau fà si ke il prodotto dia commutativo?

No, semplicemente cicli disgiunti commutano e \(\displaystyle \tau \) fissa \(\displaystyle 1 \) e \(\displaystyle 2 \). Avrei potuto prendere anche \(\displaystyle (1,7)(9,13) \) al posto di \(\displaystyle (1,2) \). E varie altre possibilità.

[francicko]

Evitando lunghi calcoli, io ho ragionato nel seguente modo:
sicuramente l'intersezione \( \displaystyle \lt\sigma\gt \)\( \displaystyle \cap \)\( \displaystyle \lt\tau\gt \), contiene il stgp generato dal ciclo \( \displaystyle \lt{\left({3},{8},{4}\right)}\gt \)\( \displaystyle = \)\( \displaystyle \lt{\left({8},{4},{3}\right)}\gt \);
inoltre sapendo che \( \displaystyle {{\left({1},{2},{3}\ldots{\left({n}-{1}\right)},{n}\right)}}^{{-{{1}}}}={\left({n},{\left({n}-{1}\right)}\ldots{.3},{2},{1}\right)} \), osservo che il ciclo
\( \displaystyle {{\left({5},{11},{12},{6},{10},{15},{14},{16}\right)}}^{{-{{1}}}} \)\( \displaystyle ={{\left({5},{11},{12},{6},{10},{15},{14},{16}\right)}}^{{7}}={\left({16},{14},{15},{10},{6},{12},{11},{5}\right)} \) ed osservo ancora che

\( \displaystyle {{\left({16},{14},{15},{10},{6},{12},{11},{5}\right)}}^{{2}}={\left({16},{15},{6},{11}\right)}{\left({14},{10},{12},{5}\right)} \)\( \displaystyle ={{\left({16},{15},{6},{11}\right)}}^{{5}}{{\left({14},{10},{12},{5}\right)}}^{{5}} \) posso quindi facilmente concludere che
\( \displaystyle {{\left({{\left({\sigma}^{{5}}\right)}}^{{7}}\right)}}^{{2}} \)\( \displaystyle =\tau \), pertanto é giusto \( \displaystyle {\sigma}^{{70}}=\tau \).
Per quanto riguarda il punto (b) se considero l'elemento \( \displaystyle {\sigma}^{{5}} \)\( \displaystyle \in \)\( \displaystyle {S}_{{16}} \), il sottogruppo da esso generato \( \displaystyle \lt{\sigma}^{{5}}\gt \) consta di \( \displaystyle {24} \) elementi distinti, infatti \( \displaystyle {{\left({\sigma}^{{5}}\right)}}^{{24}}={\sigma}^{{120}}={I}_{{{S}_{{16}}}} \), cioè \( \displaystyle {o}{\left({\sigma}^{{5}}\right)}={24} \), inoltre contiene \( \displaystyle \tau={{\left({\sigma}^{{5}}\right)}}^{{14}} \) ed il punto (b) è così soddisfatto!

Spero che ciò che ho postato sia giusto, diversamente attendo che qualcuno proponga le necessarie correzioni!
Grazie!

[vict85]

Per il punto a) la mia conclusione è stata la stessa tua e i ragionamenti equivalenti. Per il punto due non so perché non avevo provato a prenderlo dentro \(\displaystyle \langle \sigma \rangle\) ... Ero proprio stanco. In ogni caso il mio ragionamento era corretto anche se ovviamente portava ad un altro sottogruppo.

[francicko]

x@Vict85. Si, le tue soluzioni sono ambedue esatte!
Comunque mi sono reso conto , almeno per quanto mi riguarda, che é facile sbagliarsi quando si ha a che fare con le permutazioni, infatti precedentemente e sempre per lo stesso esercizio, sul punto (a), avevo si eseguito il corretto
ragionamento per ridurre al minimo le operazioni di calcolo, d'oltre canto basta vedere i diversi cicli come generatori di sottogruppi ciclici, ma nonostante ciò ho sbagliato un banale calcolo di esponenti che mi aveva portato ad un risultato errato, e grazie al tuo esatto rsultato riportato (\( \displaystyle {\sigma}^{{70}}=\tau \)), ho potuto correggere ed esporre correttamente il mio ragionamento!
Grazie!

[Rolly92]

Grazie mille ad entrambi! cmq francicko sei stato chiarissimo!!