Sottospazio somma

[ladepie]

Devo dimostrare che:
Dato uno spazio vettoriale \( \displaystyle {\left({V},+,\cdot\right)} \) e due sottospazi di V, \( \displaystyle {W}_{{1}} \), \( \displaystyle {W}_{{2}} \), \( \displaystyle {L}{\left({W}_{{1}}\cup{W}_{{2}}\right)}={W}_{{1}}+{W}_{{2}} \).

Io ho comiciato a dimostrare la doppia inclusione... ovvero che \( \displaystyle {W}_{{1}} \), \( \displaystyle {W}_{{2}} \), \( \displaystyle {L}{\left({W}_{{1}}\cup{W}_{{2}}\right)}\subset{W}_{{1}}+{W}_{{2}} \) e che \( \displaystyle {L}{\left({W}_{{1}}\cup{W}_{{2}}\right)}\supset{W}_{{1}}+{W}_{{2}} \).

La prima inclusione mi pare di averla dimostrata...bisogna dimostrare che prendendo un elemento che si scrive come combinazione lineare degli elementi dell'unione dei due sottospazi devo vedere se questa è anche somma di un vettore di W1 e uno di W2:

\( \displaystyle {x}\in{L}{\left({W}_{{1}}\cup{W}_{{2}}\right)} \) se \( \displaystyle {x}=\sum_{{i}}\lambda_{{i}}{x}_{{i}}+\sum_{{i}}\alpha_{{j}}{y}_{{j}} \) dove \( \displaystyle {x}_{{i}}\in{W}_{{1}} \) e \( \displaystyle {y}_{{j}}\in{W}_{{2}} \) e \( \displaystyle \lambda_{{i}} \), \( \displaystyle \alpha_{{j}} \) \( \displaystyle \in{R} \). Essendo \( \displaystyle {W}_{{1}} \) e \( \displaystyle {W}_{{2}} \) sottospazi vettoriali anche le sommatorie saranno appartenenti rispettivamente a \( \displaystyle {W}_{{1}} \) e \( \displaystyle {W}_{{2}} \). Quindi x è scritto come somma di un vettore di \( \displaystyle {W}_{{1}} \) e uno di \( \displaystyle {W}_{{2}} \).

Per la seconda inclusione bisogna dimostrare che prendendo un vettore che scrive come somma di un vettore di \( \displaystyle {W}_{{1}} \) e uno di \( \displaystyle {W}_{{2}} \), esso appartiene alla combinazione lineare dell'unione dei due sottospazi. Ma non ho idea su come farlo.

[dissonance]

Non hai idea di come farlo forse perché è proprio ovvio... Se \( \displaystyle {w}_{{1}}\in{W}_{{1}} \), \( \displaystyle {w}_{{2}}\in{W}_{{2}} \) allora \( \displaystyle {w}_{{1}}+{w}_{{2}}={1}\cdot{w}_{{1}}+{1}\cdot{w}_{{2}}\in{L}{\left({W}_{{1}}\cup{W}_{{2}}\right)} \). Ecco mostrato che \( \displaystyle {W}_{{1}}+{W}_{{2}}\subset{L}{\left({W}_{{1}}\cup{W}_{{2}}\right)} \). Ti convince?